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» vil. La différentiation en x de la valeur trouvée de w fera de même 

 connaître, avec erreur comparable aux dérivées troisièmes seulement de 

 U et T, le second membre de l'équation (53), dans sa partie principale, ou 

 du deuxième ordre de petitesse ; et l'on pourra, dès lors, aborder le calcul 

 de >., ly-, V, w, u', Fo, cj, i + vi, v. pour les termes de cet ordre. Dans les 

 deux cas de la section rectangulaire d'une grande largeur constante et cir- 

 culaire ou demi-circulaire, i», w continuent évidemment à être les dérivées 

 en j', z d'une même fonction ou de C ou de x; et les calculs n'offrent guère 

 d'autre difficulté que leur excessive longueur, comme on peut eu juger par 

 la partie citée ci-dessus de mon Essai sur la théorie des eaux courantes 

 (§ XXXVI). Je les y ai effectués, dans le premier de ces cas, pour arriver 

 à l'équation (n° 367) citée ci-dessus, avant d'avoir découvert le procédé 

 qui la déduit de (23). 



» Quand on emploie ces calculs pour former i 4-0, x et l'équation du 

 mouvement à une troisième approximation, là où il sont généralement 

 indispensables, il ne faut pas oublier que les équations (25) et (26) 

 doivent être complétées, comme on l'a vu au début de cette Étude, par 

 un terme provenant de ce que la pression moyenne p ne varie plus alors 

 hvdrostatiquement dans l'étendue d'une même section t. A partir de l'axe 

 hydraulique où l'on se donne p =^ p„, p s'accroît, en effet, du terme 



(77) ~P/ {v' dy -+■ W ch) = — p/ {av'dn-hhw'd'Q). 



U 



» Au terme — de la première équation indéfinie du mouvement ( où 



II' et p entrent par l'expression— -i z 7{ ]' ^^ vient donc s'adjoindre, 



quand on élimine de cette équation la dérivée de p en x divisée par (>g, 

 l'expression 



<78)-::é£.W-«''*)=-j£X=^''"-^£'4 



» On a pu la différentier sous le signe / et même n'y différentier que le 

 facteur déjà petit ('' ou w', car les dérivées en x des limites soit inférieures 

 y„, ^0. soit supérieures -/i, 'Ç, ou celles de a, h, ne donneraient, multipliées 

 par les petites fonctions v' ou w', que des produits négligeables. 



)) Par suite, dans nos équations (3), (5), (7), (10), (i3). (i4). ('6), 

 (17), (18), u', partout où il figure, se trouve accru du produit de (7B) 

 par g-, et (m-)', c'est-à-dire 2U©m', se trouve lui-même accru du produit 



