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 mais sans décroître de plus en plus à mesure que leur ordre s'élève. La 

 première formule (70) et les formules (^72) employées dans la démonstra- 

 tion ne sont basées, en effet, de même que les transformations opérées 

 ci-dessus, que sur l'hypothèse de la quasi-égalité relative de vitesse des 

 filets fluides et sur la petitesse commune des dérivées de U et g. 



» Dans le cas particulier d'un canal rectangulaire de largeur constante 

 pour lequel a été obtenue l'expression (83), il suffit d'observer que la 

 pente I de surface égale la pente (constante ou variable) i de fond, moins 

 la dérivée de h en x, pour rendre cette expression (83) identique au der- 

 nier terme d'une équation (482) donnée pour le même cas dans mon Essai 

 sur la théorie des eaux courantes (p. 524). On peut voir aux §§ XX à XXV 

 de cet Essai comment l'adjonction du terme dont il s'agit à l'équation du 

 mouvement permet d'étudier l'état permanent d'un cours d'eau, soit aux 

 points où un régime graduellement varié se détruit ou s'établit, comme, 

 par exemple, au pied et au sommet des ressauts brusques ou ondulés, soit 

 aux endroits où le fond présente des ondulations longitudinales régnant 

 sur toute la largeur, qui se répercutent plus ou moins à la superficie, etc. 



» Les formules s'appliquent même sans que le fond ait besoin d'être 

 très poli; car on n'a négligé dans leur établissement que les carrés et pro- 

 duits des inégalités de vitesse ou d'autres petits facteurs. 



)) III. Considérons enfin le régime permanent varié, très spécial, quia 

 été l'occasion de l'étude actuelle, savoir, celui qui se produit dans la partie 

 amont d'un long tuyau rectiligne, après l'épanouissement des filets fluides 

 consécutif à la rapide contraction de l'entrée, et qui sert de transition au 

 régime uniforme existant ensuite sur toute la longueur. Dans cette ques- 

 tion, le changement des vitesses u avec l'abscisse x des sections n n'est 

 plus amené par des variations de <; ou de la vitesse moyenne U, puisque a 

 et U sont constants; et tous les termes qui prédominaient jusqu'ici dans 

 nos équations, parmi ceux qu'introduit la non- uniformité du régime, 

 s'effacent, pour laisser le premier rôle à d'autres beaucoup plus complexes. 

 Nos démonstrations et nos formules subsistent, il est vrai, sans modifica- 

 tion, jusqu'à (23) et (26) inclusivement; mais les seconds membres de 

 celles-ci perdent leurs termes affectés des dérivées de U. et de n, c'est-à-dire 

 justement ceux que la simple connaissance des lois du régime uniforme 

 permettait d'évaluer; et, par exemple, l'équation (25), formule générale 

 du mouvement, devient (vu d'ailleurs la permanence admise) 



(84) i^.^u-Z + J^ ^^"-^--') . 



