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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles linéaires appar- 

 tenant à une même classe de Riemann. Note de M. F. Marotte, pré- 

 sentée par M. Emile Picard. 



« Considérons une équation différentielle linéaire à coefficients ration- 

 nels 



Toutes les équations que l'on obtient en faisant les transformations 



(2) Y = A„j'-f-A,£ + ... + A„_,;£^, 



où les fonctions A„, A, , . . . , A„_| sont des fonctions rationnelles de x, sont 

 dites appartenir à une même classe de Riemann (voir Riemann, Zwei allge- 

 meine Sàtze. . .). 



)) T. Il est bien clair que le problème de l'intégration est du même ordre 

 de difficulté pour toutes les équations d'une même classe. D'une façon plus 

 précise, M. Schlesinger a démontré que : 



)) Le groupe de transformations défini par M. Picard est le même pour toutes 

 les équations d'une classe. 



)) Avant de connaître les travaux de M. Schlesinger, j'avais obtenu le 

 même résultat en remarquant que la résolvante d'ordre n- qui a servi de 

 base aux démonstrations de M. Picard (voir Traité d' Analyse, t. JIl) est la 

 même pour toutes les équations d'une classe. 



» Mais on peut déduire de ce fait d'autres conséquences. 



» J'ai montré (^Comptes rendus, 23 novembre i8g6) que, à chaque point 

 singulier a d'une équation linéaire, est attaché un groupe linéaire algé- 

 brique ga, dont les invariants différentiels sont méromorphes au voisi- 

 nage du point a. Une démonstration toute semblable à celle du théorème 

 ci-dessus conduit au résultat suivant : 



» Le groupe de méromorphie relatif à un point singulier a est le même pour 

 toutes les équations d'une classe. 



» Ce théorème comprend toute une série de remarques qui ont été 

 faites depuis longtemps. C'est ainsi que, au voisinage du point a, les 

 nombres des intégrales méromorphes, des intégrales qui restent régu- 



