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 lières, des intégrales normales, etc., sont les mêmes pour toutes les cqiu:- 

 tions de la classe. 



» n. Les groupes en question conslitiienl donc des éléments invariants 

 de l'équation différentielle par rapport à toutes les transformations (2); 

 j'ai cherché à obtenir d'autres invariants. 



» M. Thomé a montré que, si a est un point singulier, on peut, en gé- 

 néral, trouver n expressions de la forme 



(3") e ■■'-'' (a; - o)P.[A'„-;-A',(.ï: — r/ +...], (f = t, 2, . . . , A'\ 



P, étant un polynôme en — ' — et ?, une constante, qui satisfont formelle- 



ment à l'équation difl'érentielle. Ces séries normales ne sont pas conver- 

 gentes en général, mais on peut cependant démontrer le théorème sui- 

 vant : 



» Les polynômes P, restent les mêmes pour toutes les équations d'une classe 

 de Riemann et les exposants p, ne varient que d'un nombre entier. 



» En effet, imaginons que l'on effectue sur l'équation (i) une transfor- 

 mation (2) déterminée : on peut calculer algébriquement les polynômes P 

 et les exposants p pour les deux équations. Mais, dans le cas où les séries 

 normales sont convergentes, le théorème énoncé est évident et le calcul 

 supposé fait en doit constater l'exactitude; il est donc vrai dans tous les 

 cas, car l'hypolhèse de la convergence n'intervient jamais dans la recherche 

 des polynômes P et des exposants p. 



» On peut démontrer, de la même façon, un théorème analogue rclatil 

 aux cas oii les développements (3) contiennent des logarithmes ou sont 

 les séries anormales de M. Fabry. 



» Nous avons ainsi obtenu des fonctions algébriques des coefficients 

 d'une équation linéaire, qui restent invariantes par rapport à toutes les 

 transformation' (2 ) et qui donnent autant de conditions nécessaires pour 

 que deux équations appartiennent à la même classe. 



» Ces conditions ne sont pas suffisantes; il en sera de même encore si 

 l'on ajoute que les équations doivent avoir même groupe de monodromio. 

 En s\ippuyant sur les t/téorémes de M. Poincaré relatifs à la représentation 

 osymptotique des intégrales d'une équation linéaire par les séries normales 

 (Acta mathematica, t. Ylll), on peut énoncer des conditions nécessaires et 

 suffisantes . 



» III. Les conditions ainsi obtenues ne se prêtant pas au calcul effectif, 

 le théorème suivant ne sera pas sans intérêt. 



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