( '42 ) 



HYDRODYNAMIQUE. — Établissement du régime uniforme, dans un tuyau 

 à section rectangulaire large; par M. J. Boussinesq. 



« I. Telle est(') la valeur de u' qu'il faudra porter dans l'équation 

 indéfinie en Fo, qui est la première (lo) ou mieux la différentielle totale 

 en •/], "C de la première (lo). En effet, avec l'adjonction de la condition au 

 contour correspondante, la première équation (lo) équivaut exactement à 

 sa différentielle totale en n, ^, que nous pourrons écrire, avec un terme de 

 moins, 



(97) <'4l(''t)-|(^S)-'']=- 



l'indice a indiquant que la différentiation dont il s'agit se fait sans sortir 

 d'une même section s. Car l'équation (97) revient évidemment à la pre- 

 mière (10), avec addition, au second membre, d'une constante arbitraire C. 

 Or, si l'on prend la moyenne des valeurs, dans l'aire c, de tous les termes 

 de la première (10) ainsi complétée, on trouve zéro pour valeur moyenne 

 du premier membre; car celui-ci, multiplié par dri dX,, et intégré, se change 

 évidemment en une intégrale de contour oîi figure sous le signe / le pro- 

 duit de F par la dérivée en v de Fo-, nul d'après la seconde relation (10). 

 Et il vient bien ainsi, forcément, C = o. 



î) IL Cela posé, tirons de (11), pour la substituer dans (97), la valeur 

 de F2 en fonction de F, et de ra ou u. A cet effet, observons, d'une part, 

 que dans l'expression de Fo fournie immédiatement par (i i), le facteur u\ 

 peut être remplacé à très peu près par U'cp^ ; d'autre part, que le quotient 

 de u par M„ est identiquement celui de ç + ci par (p„ + tj„ et excède sa valeur 



de régime uniforme \ + k v'BoF,, ou ^ -, de 



Il viendra 



|F,= ^:v^-^u^[.-.„(i-F/i-v'B:F.)] 



(') Voir le précédent CoinpLe jenclii; p. 69. 



