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» T. Considérons d'abord le cas où la iorme/(ffx) ne contient que les 

 carrés des différentielles 



/((Ix) ^ ds^ = B;f/a;; 4- B= dx; + B.dx]. 



» Lamé [Leçons sur les coordonnées cunnlignes) a donné les conditions 

 nécessaires et suffisantes pour que di" ^}\\dx\ + ^.2dx\ + \{^dx\ soit, 

 par un changement de variables, réductible à une forme à coefficients 

 constants. Remplaçant, dans les six équations de Lamé, HuH^.Hj parpB,, 

 pBj, 0B3, on a un système de six équations aux dérivées partielles, qui, si 

 elles sont compatibles, donneront le facteur inconnu p^ tel que ^"^ds" soit 

 transformable, par un changement de variables, en dy-^ + dyl + dyi. 



» Ces équations peuvent être résolues par rapport aux dérivées secondes 

 de p, et se simplifient si l'on prend comme fonction inconnue logp = R, 

 Les dérivées secondes de R s'expriment en fonction des dérivées premières 

 des coefficients du ds"^ et de leurs dérivées. Ce système d'équations aux 

 dérivées partielles en R se rattache à un type connu (voir la Thèse de 

 M. Bourlet). Les conditions de compatibilité s'obtiennent en égalant les 

 diverses valeurs des dérivées troisièmes des R obtenues par dérivation des 

 équations précédentes. 



)) En posant 



bi^ logB,, 



dxi dx/c dj^i Ox/^ dxi dx^. dx^ Oxi ^ ' ' ' 



"'"~ ùxkK'àk dxij "^ dx, VB, dx,) "*" Bf dxi dxi' 

 fl/, = a, B, + aoB^H- a^là^ — laj,^/,- 



M On a d'abord deux équations obtenues en égalant les expressions que 

 Ton peut déduire par permutation circulaire des indices i, 2, 3 de la sui- 

 vante : 



, dbi , , dbi 



db^ , dbi^ <)&23 

 ''=d^3 "^ =" dx^ "^ dx. 



» On a ensuite six autres équations, obtenues en permutant de toutes 

 les manières possibles les indices i, 2, 3 dans la suivante : 



1 dB, ^ B, dB, , B, <? /B,\, ,^^ à /'«iB.X „ 



W,d^,^' '^^Yil'àF,^"-'~'^%'àx\Wj''^''^- dx, àx,\\i,ïij - ''' 



» Ces conditions, ne donnant pas de nouvelle équation en R, sont bien 



