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nécessaires et suffisantes. Si elles sont satisfaites, R s'obtient par l'intégra- 

 tion d'un système d'équations différentielles ordinaires, et se trouve dé- 

 pendre essentiellement de quatre constantes arbitraires. Ces constantes cor- 

 respondent aux constantes de l'inversion la plus générale effectuée dans 

 l'espace y, y-i, y^- R une fois obtenu, les formules de transformation sont 

 celles qui permettent de réaliser Vapplication de la variété a:,, x^, x^, p^ : 

 f-ds- sur la variété j,, y.,, y,, dy] -+- dyl -+■ dy'l. C'est là un problème 

 connu (voir Lamé, Coordonnées curvilignes). 



» II. Le cas où la (orme/(dx) est quelconque se ramène au précédent. 

 On démontre aisément qu'il existe toujours des chane;ements de variables 

 ramenanty(f/a7) à ne contenir que les carrés des différentielles; en d'autres 

 termes, il existe toujours, dans une variété à trois dimensions, des systèmes 

 triples orthogonaux par rapport à la forme fondamentale. I^es équations 

 aux dérivées partielles définissant de tels systèmes se prêtent à l'application 

 des théorèmes de Cauchy, si l'on a ramené, ce qu'il est possible de faire 

 (Darboux, loco citato), la forme à ne contenir l'une des différentielles que 

 par son carré. 



» Cette remarque faite, pour obtenir les équations auxquelles doit 

 satisfaire p pour que f-/{dx) soit réductible à une forme à coefficients 

 constants, il suffit d'écrire que lecovariant de ffi^dx), désigné par G^, par 

 M. Christolfel dans le Mémoire cité, s'annule identiquement. On obtient 

 ainsi un système de six équations en R = logp, et l'on peut le résoudre par 

 rapport aux dérivées secondes de R. Les conditions d'intégrabilité seront 

 faciles à écrire. Du cas précédent et du fait que toute variété du troisième 

 ordre admet des systèmes triples orthogonaux, il résulte que ces condi- 

 tions d'intégrabilité n'introduiront pas d'équations nouvelles en R, et se 

 réduiront à des relations entre les coefficients de la forme et de leurs déri- 

 vées, qui seront satisfaites identiquement si le problème est possible. Dans 

 ce cas, le facteur p et les formules de transformation se déterminent comme 

 précédemment. 



» IIL En résumé, nous connaissons les opérations à effectuer pour 

 reconnaître si une forme quadratique ternaire de différentielles est réduc- 

 tible à une forme à coefficients constants multipliée par un facteur indé- 

 pendant des différentielles; et nous savons efléctuer cette réduction par 

 l'intégration d'un système complètement intégrable. 



» Il semble facile de trouver en Mécanique, par exemple, des applica- 

 tions de ce problème. Pour ce qui concerne la théorie des équations 

 linéaires aux dérivées partielles du deuxième ordre, il donne le moyen 



