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» Nous ajouterons que, en deliors de ce développement facile pour les 

 formules par sommations, les relations (i) et (2) permettent d'entrevoir 

 une série de propriétés liant les fonctions (0"(.r) et S"(x). » 



GÉOMÉTRIE. — Sur l' hypocycloïde à trois rebroussements . Note 

 de M. Paul Serret. 



« 1. Soit C une courbe de classe 3, générale ou singulière, mais dont 

 la détermination exigera toujours neuf données distinctes, explicites, ou 

 enveloppées dans les singularités de la courbe, et représentées par neuf 

 groupes de droites. G,, du troisième ordre, du second ou du premier 



(G) G.^T^, . . . , G,^Â,B,C,. . . . , G,E^ D,Ë„ . . . , G„ = F„„ .... 



tous conjugués à la courbe et, pour rester irréductibles, devant satisfaire, 

 quels que soient les coefficients >,, à la non-identité 



S^.G.^o. 



» Parmi les <c données déterminantes » G,, quatre au moins, émanées 

 directement de la proposée C', sont du troisième ordre et proviendront : 

 soit de groupes ternaires proprement dits ABC, A'B'C', ..., conjugués 

 toujours à C; soit des groupes conjugués spéciaux T], T', . . . , fournis par 

 une ou plusieurs de ses tangentes T,, T^, . . .. 



» Quant à l'ensemble des groupes du second ordre ou du premier, 

 conjugués à la fois à C et à sa première polaire principale C^ (en entendant 

 sous ce nom la première enveloppe polaire de la droite de l'infini, prise par 

 rapport à C), il ne pourra en entrer plus de cinq dans les données de la 

 coutbe. Dans ce qui suit, nous supposerons cette limite atteinte, et G' dé- 

 finie par quatre groupes conjugués du troisième ordre 



(D) t:, ...,T,; ou A.B.C,, ..., A,B,C, 



ajoutés à cinq groupes binaires distincts 



(D') x.y,,...,x,y; 



conjugués à la première polaire principale G", déterminant celle-ci ou déter- 

 minés par elle et, pour rester distincts, satisfaisant à la condition 



(D") 2:V,X.Y.:f-o. 



C. R., 1897, 2° Semestre. (T. CXW, iN" 10.) 56 



