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» Introduisons mainlenant une nouvelle tangente T5 ou un nouveau 

 groupe conjugué A5B5C5, nous aurons, entre les dix groupes mis de la 

 sorte en présence, l'une ou l'autre des relations (' ) 



(A) iJ/.T^ +2:m.X,Y, = o, 



(V) 2:/;A.B,C, + i;m;X,Y, = o, 



et la théorie, les propriétés ou constructions diverses de la courbe C^, 

 regardée comme définie par les données (D), (D'), seront comprises dans 

 l'une ou l'autre de ces identités, associées d'ailleurs au lemme suivant qui 

 les contient, et dont les applications sont continuelles : 



» T.EMME GÉNÉRAL (^). — 5î V groupes de droites. G',, G'^, . . ., G^, d'ordres 

 quelconques, sont liés entre eux par une relation linéaire et identique 



(B) r:/;G;^o. 



toute courbe de classe n, conjuguée à v — i de ces groupes, sera conjuguée 

 au y'""". 



» 2. Soit maintenant G' une courbe de classe 3, déterminée, s'il est pos- 

 sible, par les seules données (D) : ou encore, en généralisant la question, 

 par la seule désignation de v de ses tangentes T,, . . ., T^, ou de v groupes 

 ternaires A/B,C, qui lui seraient conjugués. 



» Si C^ est déterminée de la sorte, tout ce qui dépend de G' et, en par- 

 ticulier, sa première polaire principale C", se trouve déterminé en même 

 temps. Donc G^ est déterminée en soi et par soi, sans aucune indication 

 graphique d'aucune espèce. Or il n'existe qu'une seule enveloppe de 

 classe 2 qui se trouve déterminée de la sorte; c'est l'ensemble (10,^0) des 



points circulaires de l'infini : donc G^^to, coo. Mais G" étant connue, sa 

 donnée équivaut à cinq conditions; et il reste, pour déterminer G% à dési- 

 gner seulement quatre de ses tangentes : donc v = 4> 



)) La courbe actuelle est donc une cubique de Steiner, déterminée par 

 la seule désignation de quatre de ses tangentes, ou par les seules don- 

 nées (D), et pouvant dès lors recevoir toutes ses propriétés particulières 

 des formules (A), (A'), où l'on remplacera seulement les cinq groupes X,- Y,, 

 actuellement conjugués à la conique spéciale G-^co,(Do, par cinq groupes 



(') Comptes l'endus, 7 janvier 187S. 

 (2) Ibid., i4 janvier 1878. 



