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rectangulaires \iY i ^ - (les seuls qui soient conjugués à (.j|to_.) tracés à 



volonté dans le plan de la courbe. 



» Or les identités (A), (A') pouvant s'écrire 



(A,) 2:/,TÎ-=^2>,X,Y,. 



(a;) 2;/;a,b.c.ees2>;x.y,, 



il résulte immédiatement de celles-ci, associées à l'orlhogonalité des 

 droites X,, Y,, ce théorème fondumental : 

 » Théorème I. — Les coniques 



(Aj) o = 'L\l,T:]^ax-+-^bxY + cY'' + . .. 



( a; ) o = 2^ /; A , B , C , = a'a;'' -t- 2 è' 0:^7 H- c' j^ 4- . . . . 



dérivées soit de cinq tangentes quelconques T,, . . ., T5, soit de cinq groupes 

 conjugués A,B,C,- d'une cubique de Steiner, sont toujours des hyperboles 

 équilatéres (o = a -h c = a' -h c' ) , et réciproquement. Pour abréger, nous 

 ne démontrerons pas ici la réciproque. 



» 3. Rapproché d'une Note antérieure (' ), il suit, de l'énoncé précé- 

 dent, qu'une seule et même condition entraîne, d'une part, la circonscrip- 

 tibililé du pentagone (T, . . . T5) à /a courbe cherchée C ; d'autre part, la 

 réduction en une ligne droite du cercle de Miquel relatif à ce pentagone. 



» Écrivant dès lors 



T,-^a;cosip,' -+-_ysin(p,- — yo,, 



et posant les cinq équations 



o =^ 2'/, cos'çp, — 2/| cos^cp, sincp, =2/, cosç, sin'cp, :=2/, sin'cp, — 2/,/>,, 



pour lesquelles se traduit le théorème ci-dessus; l'existence simultanée 

 de ces équations entraînera, par des transformations évidentes, la con- 

 dition cherchée 



/>,, cos3çi, sin3!pi, cosç,, simp, 1 



Ih I 



= /'5 — A cos3(p5 - Bsin3<p5 — A'cosçj — B'sincp;, 



qui entraîne à son tour les théorèmes suivants : 



» Théorème II . — Z-a courbe de Steiner est une hypocycloïde à trois rebrous- 



(') Comptes rendus, 3i août 1896, p. [\iO,. 



