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» Nous établirons d'abord le lemme suivant : 

 M La conique 



dérivée du pentagone (T, , . . . , ïj ) e/ /« conique inscrite à ce pentagone ont le 

 même centre. 



» Désignant, en effet, par Z une droite quelconque, considérons la co- 

 nique auxiliaire (A, B) dérivée du pentagone (T, . . . T^) et de la droite Z, 

 conformément à l'identité générale 



(M) --t/x^(3^i-^y 



» La première polaire du point/? 



(p) o = z' = t;,. t;,...,t;, x',y'. 



par rapport à la cubique (M), étant représentée par l'une ou l'autre des 

 équations 



(M') o =2/iT;T; = 2(H: + ^ _ i)z, 



il résulte aussitôt, de celte double représentation, que la droite Z et la po- 

 laire du point p par rapport à la conique (A, B) divisent harmoniquement 

 chacune des diagonales du quadrilatère (T, . . . T^). 



» Posons maintenant Z zt- i : la droite Z disparaît à l'infini avec le pôle p, 

 les coniques (A, B) et (a, b) se confondent; et la polaire du point p par 

 rapport à (A,B) se transforme, d'une part, en un diamètre de (^a,b); 

 d'autre part, en la médiane même du quadrilatère (T, .. . T,,), ou en un 

 diamètre de la conique inscrite au pentagone (T, . . . T5). La conique inscrite 

 au pentagone (T, . . . T5) et la conique (a, b), dérivée de ce pentagone, ont 

 cinq diamètres communs, et leurs centres se confondent. 



» Ce lemme établi, le théorème IV devient évident. Les coniques ((;.), 

 dérivées de l'hexagone (T, ...T^), forment un faisceau : le lieu de leurs 

 centres est une conique déterminée S. D'autre part, six des courbes (^a), qui 

 correspondent aux hypothèses successives o = >., = X, = • • • = ^o> ne sont 

 autres que les coniques dérivées du pentagone (23456), (3456 1), ..., et 

 leurs centres respectifs, ou les centres mêmes des coniques inscrites à ces pen- 

 tagones, font six points de S : c'est la première partie de l'énoncé. 



» Actuellement, si les droites T,, . . ., T^'font six tangentes d'une hypocy- 



