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 cloïde : en vertu de notre théorème fondamental ('), six des courbes (|7.), 

 donc toutes les courbes (jx) sont des équilatères; et, par une proposition 

 connue, le lieu S de leurs centres est un cercle; c'est la seconde |)artie de 

 l'énoncé. 



» 5. Théorème V. — Etant données sept droites quelconquesT^, ..., Tt, 

 les courbes S , , So , . . . , S- , lieux du centre des coniques dérivées cubi'juement de 

 six quelconques de ces droites, se coupent suivant les trois mêmes points. 



» Soient, en effet, 



» Sa le lieu du centre des coniques dérivées des sept droites moins la 

 droite T^; 



» S, le lieu du centre des coniques dérivées des sept droites moins la 

 droite T,. 



» Ces deux courbes se coupant en quatre points, dont l'un en évidence, 

 qui n'est autre que le centre de la conique dérivée du pentagone formé 

 des sept droites données, moins les deux T;i, T,, négligeons ce premier 

 point; et, désignant par O l'un quelconque des trois autres points com- 

 muns à nos deux courbes, menons par O deux axes quelconques Ox, Oy. 



» Situé à la fois sur S^ et sur S,, le point O servira de centre commun à 

 deux coniques (^dérivées, la première, de l'hexagone formé des sept droites 

 données moins la droite T;; ; la seconde, de l'hexagone formé de ces mêmes 

 sept droites moins la droite T,) et représentées, respectivement, par les 

 équations 



o = - l.Tl-^^JXr^^^ax^ -^ 2bxy + cf- +f, 



o = - i:T]-^^l'X = a'x^- -t- ^.b'xy + c'f-+/'. 



» Or si, entre ces deux identités, l'on élimine le terme en T', commun 

 à l'une et à l'autre, l'identité résultante 



/"T 



3 

 k'-k 



2' ^[ TJ = a"^= + 2 b"xy -+- c"y^ +/" 



exprime que l'origine actuelle O sert de centre à une conique déterminée, 

 dérivée de l'hexagone formé des droites T,, . . ., T^, moins la droite T^; ou 

 que le point O appartient à lu courbe S^, lieu du centre des coniques dé- 

 rivées de cet hexagone. 



» Le point O, qui admet trois déterminations distinctes, est donc com- 



(') Comptes rendus, septembre 1897, p. 423. 



