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GÉOMÉTRIE. — Sur l hypocycloïde à trois rebroussemenis. Note 

 de M. Paul Serket. 



« 6. Théorème VI. — Un heptaf^one (T,,...,T;) étant circonscrit à 

 i hypocycloïde, les centres de gtm'ilè G/ des divers triangles ayant, pour pre- 

 mier sommet, Vun quelconque des sommets de Vheptagone, et, pour point 

 milieu du côté opposé, le centre C,- de la conique inscrite au pentagone formé 

 des côtés de l'heptagone, moins les deux, qui se croisent au sommet employé, 

 font 21 points d'une même ligne droite : la droite 



(1) o = 2l'/,r; = a.'r+/>v^-c=X, 



dérivée de l'heptagone actuel, et qui remplace ici le cercle déiivé iXww hep- 

 tagone quelconque. 

 » Soient, en effet : 



(i) o=2'«,t;=x,y,-c,, 



(2) o = 2"/;, T^ = X, ¥,-(:„ 



(3) o=^c,T.=^,-Y,-G, 



les équilatères du second degré, dérivées, une à une (Théorème I), des 

 pentagones (j 23/^5), (23456), (34567). Comme trois angles droits X.Y,, 

 X^Yj, X3Y;,, composés entre eux linéairement, donnent toujours naissance 

 à une droite déterminée, écrivons 



(4) y''//,X,Y, = a'.r-4-//v-hr', 



et ajoutons, membre à membre, les identités (i), (2), (3) multipliées par 

 h^,h.,,h.^. Nous conclurons, de l'identité résultante (1), l'existence d'une 

 droite déterminée X, dérivée de l'heptagone considéré, et qu'il s'agit main- 

 tenant de construire. Ecrivons pour cela, au lieu de (1), 



{Ibis) o = y;'/,T^=x = xz% 



o = Z^i désignant la droite de l'infini. La première polaire du sonnnet P 



{^) o = t; = t;, t; r.,; x', z'=.. 



