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le suivant 



ou 



» M. F. Caspary obtient ce système en composant au moyen des deux 

 quadruples de paramètres a^:, i^^,, ([;, = i , i, 3, 4), un système orthogonal de 

 seize coefficients (g,j) (i,y =^ i , 2, 3, 4) et en choisissant pour l'un et 

 l'autre des quadruples le même système gopeléeu de fonctions thêta de 

 deux arguments (voir Journal fur d. reine u. angew. Math., t. XCIV). 



» Je vais donner, dans cette Note, une nouvelle application de la 

 méthode due i\ M. F. Caspary et communiquer de nouveaux systèmes 

 orthogonaux comprenant, d'une façon elle-même concise, les relations 

 différentielles qui existent entre les fondions thêta de deux arguments. 



» Je les déduis en substituant dans lesdites expressions des coefficients 

 gij les valeurs suivantes des huit paramètres ajj., (i^. : 



a -Af" 



0-2 = K'l{^^ + Km *2 -+-72). [^2 = ^0. (^, — r, , J-2 — Jî)' 



a3=6!,"'(a:r, 4-j,,a7,+j,), [^3 = 0, (x,—y,,x.,~y._), 



«^==^'"3'(^1 +71.^2+72). P4 = ^23(^'l - J',.'^2— J2). 



et en employant les fornuiles pour la transformation de second degré, où 

 j'ai adopté la notation des fonctions thêta que l'on doit à Weierstrass et 

 désigné par les fonctions avec les modules st,,, 2-|o, 2x^2 et par/'"' ou 

 la somme de Leibnitz 



d"f(x„ x^) , (n\ d''/(x„x,) , „_ , , d"/{xux,) j „ 



dx'{ ^^'+Vi/ àx'r'dx, '"^' cta,,-h...^ ^ ax.^, 



ou un seul terme de cette somme. 



» En posant, de plus, j\ = j?^ (v = i, 2), yi tire de mes i-echerches, rela- 

 tives aux fonctions thêta de deux arguments (voir Silzungsber. d. Berl. Ak., 

 t. XXXIX, p. 1025-1028), immédiatement le théorème : 



» 1. Les n'^"'^^ dérivées des carrés des fonctions thêta de deux arguments 

 forment, dans V arrangement (r), les seize coefficients d'un système ortho- 

 gonal (gij). 



