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» En posant y^= — œ., (v = i, 2), il n'existe pas de systèmes orthogo- 

 naux pour n impair; pour « = 2p, on a de nouveaux systèmes orthogonaux 

 étabhs dans le théorème : 



)t II. Soient Xf, X2 des arguments quelconques. E/i posant 



(p= I, 2, 3, ...), 



et en désignant par ïy^' les expressions analogues, les seize fonctions t'!^^' 

 (a, [i = o, I, 2, 3, 4), ii^' (1 = o, 1 , 2, 3, 4, 5) forment, dans l'arrange- 

 ment (Y), les coefficients d'un système orthogonal {g ij). 



» Pour p = 1, ce système orthogonal prend la forme remarquable 



S| {a;)dno^''n, (a-). Sf , (a-)f/=log2r,,(^), ^\^{x)dHo^?s.,^{x), - SJ^ (j;)f/qog&oi(.^-)> 



2f^ (a;)nfMot;S-,, (.r), - H?;,, (.r )(7-logSf,i(^), •'::il,{x)d-\o^l3.,,{x), —'^l„{x)d-\o9;'^,.,{x), 



où 



» Comme corollaire de ce théorème on a, pour a?, = ^o ^ o : 

 » III. En désignant par c'^"' et c'/"~" les valeurs respectives ([ue la fonc- 

 tion paire 3^"'(^|,x'o) et la fonction impaire &'/""" (a;,, ito) prennent pour 

 X, = ££-2 = 0, les constantes 0]f\ Cff^'; C^P-^^ C;'p+" définies par les égalités 



'4î 





(p = i,2,3,...); 



^ p -^- 2 \ ..' .:ir'+" ^ /' 4 ? + 2 ^ .'" .>«P-'i ^ _L 1 /4 p 



2 



(p = o, 1,2, ...) 



forment, dans l'arrangement (r), les coefficients de deux systèmes ortho- 

 gonaux {gij). 



» Tout particulièrement, à la valeur p =; o correspond le système ortho- 



