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» Pour qiiune congmence soit p.O, il faut et il suffit que Véquation 



, , d'-^ i ôh ô^ t di <n , „f, 



^ ^ àiiàv h ov ou l Ou ()v 



à laquelle satisfont ses paramètres directeurs X, Y, Z, admette^ en outre, p solu- 

 tions^,, Eo, Hp, telles que 



X= + Y^ -4- Z= 4- q 4- E: +. . . + E^ = o- 



)) Pour qu'une congruence soit p.C, il faut et il suffit que l'équation (2), ô 

 laquelle satisfont ses paramètres directeurs X, Y, Z, admette, en outre, p — 1 

 autres solutions ç,, c,^, .... Cp_, telles que l'on ait 



X^ 4- Y= + Z^ + E; -+-...+ ^;_, = A=U^ + /^V% 

 U et V étant respectivement des fonctions de u seul et de v seul. » 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les lignes géodésiqucs de certaines surf aces . 

 Note (le M. Emile Waelscu, présentée par M. Darboux. 



« Soit S un faisceau de 3o' lignes géodésiques d'une surface F; la tan- 

 gente d'une de ces géodésiques au point a est tangente à une autre sur- 

 face F, en un pointa,. 



» Si les 30^ géodésiques de F sont groupées en îc' faisceaux S, à chaque 

 faisceau correspond ainsi un point a, ; les points rt, correspondant à tous 

 les S forment une courbe A. On peut poser la question suivante : pour 

 quelles surfaces les courbes A sont-elles transformées l'une de l'autre par 

 les transformations d'un même groupe? Dans la Note présente je traite le 

 cas où les courbes A sont homoihétiques pour les centres a respectifs ( ' ). 



» Nous employons les formules du Tableau IV de la Théorie générale des 

 surfaces de M. Darboux, t. II, p. 385. Les courbes A homothéliques dans 

 les plans des xy des trièdres mobiles seront données par l'équation en 

 coordonnées polaires p = v<ï>, où v est une fonction de u et v, $ est une 

 fonction de l'angle <p. 



» Alors nous supposons que le mouvement du point a, relatif au Irièdre 

 ait lieu sur la courbe A; ce point subit un déplacement dont les compr- 



(') Cf. Comptes rendus, t. CXVI, p. i435, où j'ai traité le cas le plus spécial oii la 

 figure formée du point a et de la courbe A coriespondaute reste invariable. 



C. R., 1897, 2' Semestre. (T. CXXV, N" 15.) 7» 



