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santés sont 



SiT — cos(p</(v$) -1- kdii — (rdu -\- r, r/c -f- c?'f )v<[>sin<p, 

 Sj = sin of/( V <!>_) -f- CrA' -^ ( rr/w + r, ,'A' -+- f/(p)v$ cos(p. 



« Le point a, h- ta^ doit appartenir à la surface F, , dont le plan tangent 

 à a^ passe par l'axe des z du trièdre. De là on a la relation : y^x — xty ~- o 

 qui donne l'équation 



(i ) A sin cp du — C cos 9 dv — v$ (rdu -f- r, c/ç' h- (7cp ) = o, 



dont les surfaces F, doivent fournir des intégrales. La condition d'inté- 



grabilité de (i) est ( en posant y^ = v„, etc. ] : 



, ■. ^ Av„* sintp + Cvij'fcosrp -(-(;v^ '■f„)v'<I>'-h âC 



^ ^ "^ C„vsin!{i — A;,vco5(p ' 



elle donne les conditions pour les A et C qui figurent dans l'élément linéaire 



des surfaces cherchées. 



P 

 » La condition (2) exige que la fraction ^ de droite soit indépendante 



de u et de v, ce qui donne les identités 



(3) PQ„-QP„=o. PO„-QP.,= o. 



» Nous distinguerons maintenant deux cas : Les identités (3) pourront 

 être vérifiées : 1° soit pour chaque valeur de u, v, ç et $ ; 2° soit seule- 

 ment pour u, V, <î> ( '). 



» 1° Nous obtenons ici seulement certaines surfaces applicables sur 

 des surfaces de révolution; mais il est possible de choisir la courbe A d'un 

 point a parmi une infinité de =c' courbes. Soit l'élément linéaire de la 

 surface du"^ -\- U° dv^ (U fonction de u seule), nous trouvons les cas : 



(a) U = m'"" , si w :^ o, 1 ; courbes A : p = ( ! — n)u [ — ,. . „ ' , cos o 



(è) 7t = o : U = w (développables); p = î< ((?sin(p — coscp); 

 (c) « = I : U = e'"" (surfaces de courbure constante — m^ • l'homothétie 



descourbesAdevientcon£;ruence); p— --■ 



" -^ ' m c — cosœ 



» 2" Les identités (3) donnent ici l'équation de la courbe A, et l'on 



(') Nous excluons d'avance le cas v =r 00, qui donne : F est développable; A est la 

 droite de l'infini ; chaque faisceau S contient des courbes géodùsiques parallèles. 



