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peut démonlrer que cette courbe ne peut être que : (a) du deuxième ordre; 

 elle passe alors par a et par un des points absolus du plan xy; (h) une 

 droite. 



» Bornons-nous, dans le cas (a), aux surfaces réelles; nous avons \v 

 résultat suivant : 



» Les surfaces, caractérisées par la propriété que les courbes A. d'un grou- 

 pement des gcodésiques soient des cercles passant par les points a respectifs, 

 ont l'élément linéaire 



le cercle A est tangent à la courbe u = const. et passe par le centre de 

 courbure géodésique de cette courbe par a. 



» Considérons sur une de ces surfaces les ce' courbes C, lieux du pointa 

 pour lequel le cercle A reste égal à lui-même. La courbe C coupe le cercle A 

 en a sous un angle a. Si les courbes C coupent chacune des courbes 

 u = const. (enveloppes des cercles A) sous le même angle la surface est 

 applicable sur une spirale, dont l'élcitient est 



\}{v-du- -t- dv-). 



» Si a est constant pour tous les points a, on a caractérisé les éléments 

 suivants : 



)) i" Si a -; o : du" + \} clv" , surfaces applicables sur des surfaces de ré- 

 volution ; 



» 2° Si a = X : (av +■ bf du- + e^" dv- ; 



» 3° Pour tout autre a : (e"-h c)-'- (v'^ du" h cot-v.dç-). 



» Enfin, dans le cas (b), l'élément prend la forme X"{du- ^ dv"), où 

 logA = - satisfait à l'équation (=,„, -f- -,.^)« + =«— o. La droite A a l'équa- 

 tion Kx '-= R, où K est la courbure de la surface en a, et R est le rayon de 

 courbure géodésique de la ligne u = const. Parmi ces surfaces, il y a les 

 développables (pour s = o); les courbes géodésiques d'un faisceau S 

 passent ici par un point, et ces points pour tous les S sont situés sur une 

 même géodésique. H y a aussi les surfaces à courbure constante négative 

 (pourz = — logM), où la distance du pointa à la droite A correspondante 

 devient constante. » 



(') On voit ici, géométriquemenl, que Ton peut trouver les géodésiques de cet élé- 

 ment par l'intégration successive de deux équations dilTérentielles du premier ordre. 

 La première intègre l'équation (i), l'autre est l'équation du faisceau S, donné par une 

 des surfaces intégrales F, de (i). (Cf. Darboux, Surfaces, t. ÛI, p. 82.) 



