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genre de question; c'est donc jen étudiant à fond les lignes géodésiques 

 qu'on peut le mieux se familiariser a^ec ces difficultés et apprendre à en 

 triompher. C'est là une des raisons qui ont décidé l'Académie à mettre cette 

 étude au concours, il y a peu de temps. 



» Le prix a été décerné à M. Hadamard. Le même auteur revient au- 

 jourd'hui à ce même problème. 



)) Il se restreint aux surfaces dont la courbure est partout négative. 

 Cette circonstance l'affranchit de difficultés sans nombre qu'il aurait ren- 

 contrées avec une surface quelconque ou avec une surface convexe. Il 

 peut ainsi arriver à des résultats complets qui sont exposés dans le travail 

 soumis au jugement de l'Académie. 



)) Par deux points de la surface on peut mener une infinité de géodé- 

 siques; mais ces géodésiques appartiennent à des types différents, c'est- 

 à-dire qu'elles ne sont pas équivalentes au point de vue de Y Analysis situs. 

 Mais deux points peuvent toujours être joints par une géodésique appar- 

 tenant à un type donné et ne peuvent l'être que par une seule. 



» Les géodésiques se partagent en trois catégories : 



)) 1° Les géodésiques fermées, et les géodésiques asymptotiques à une 

 géodésique fermée ; 



» 2° Les géodésiques qui s'éloignent indéfiniment; 



)) 3" Les géodésiques qui restent à distance finie, se rapprochent d'abord 

 beaucoup d'une géodésique fermée, s'en éloignent ensuite pour se rappro- 

 cher beaucoup plus encore d'une autre géodésique fermée et ainsi de 

 suite. 



)) La distribution des géodésiques qui passent par un point donné pré- 

 sente des particularités fort curieuses. 



» Les géodésiques de la première et de la troisième catégorie forment 

 un ensemble qui esl parfait, mais qui n'est condensé nu/le part . \j?i frontière 

 de l'ensemble formé par les géodésiques de la deuxième catégorie, se com- 

 pose d'ailleurs d'une infinité de géodésiques de la première catégorie. 



» Il résulte de là par exemple que, si par un point donné on fait passer 

 un faisceau de géodésiques, quelque délié que soit ce faisceau et quelle 

 que soit sa position, il contiendra toujours des géodésiques allant à l'infini. 



)» Le problème peut donc être regardé comme entièrement résolu. L'im- 

 portance du résultat peut être mis en évidence par les considérations sui- 

 vantes : 



» Quand on abordera le problème de la stabilité du système solaire 

 d'une façon rigoureusement mathématique, on se trouvera en présence de 



