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GÉOMÉTRIE. — Sur la déformation des quadriques. Note de M. C. Guiciiard, 



présentée par M. Darboux. 



« Soient A un réseau d'une qiiadrique, R, S les foyers d'une congruence 

 harmonique à A. Par la droite RS menons le second plan tangent à la 

 quadrique, soit B son point de contact. La droite AB, étant polaire réci- 

 proque de RS, décrit une congruence dont les développables corres- 

 pondent à celles de RS et, par suite, aux courbes du réseau A. La con- 

 gruence AB est conjuguée au réseau A ; d'après un théorème de Ribaucour, 

 elle découpe en B un réseau conjugué : les tangentes à ce réseau seront BR 

 et BS; autrement dit le réseau B est harmonique à la congruence RS. 



» Supposons, maintenant, que A soit un réseau cyclique; on pourra 

 choisir pour congruence harmonique RS une congruence de normales; B 

 sera alors aussi un réseau cyclique; comme il y a co' séries de congruences 

 O parallèles harmoniques à A et, par suite, un système oc- de ces con- 

 gruences, on peut énoncer le résultat suivant : 



» Sf l'on cannait une surface applicable sur une quadrique, on pourra en 

 déduire de nouvelles surfaces applicables dépendant de deux constantes ar- 

 bitraires. 



» C'est l'extension aux quadriques de la transformation Bianchi- 

 Ribaucour pour les surfaces à courbure totale constante. 



» Prenons maintenant une quadrique de révolution : 



X- 



- y- -+- mz- =; I . 



» Soit \(^xyz^ un réseau de cette quadrique; posons 

 a", = Xj x.^ = y , x^ = z, X ^ 

 de sorte que 



\ m -- 1 :;, 



JC] -{- Xl-\- XI -+- xl= \. 



» Le point x{x^x„XJX^) de l'espace à quatre dimensions décrira un 

 réseau O. Donc : 



» Tout réseau d'une quadrique de révolution est 2O. 



» Si l'on connaît une déformée de cette quadrique, on aura un réseau 

 2O et C et, par suite, des surfaces isothermiques (voir ma première Note). 



