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» On en déduit facilement le résultat suivant : 



» Soil \j une gèniratrice isotrope d'une quadrique Q, M le point où ], ren- 

 contre le plan tangent en A; si l'on dé/orme la quadrique en entraînant le 

 plan tangent en A, M vient en M'; les lignes de courbure de la surface décrite 

 par M.' forment un reseau I. >> 



GÉOMÉTRIE. — Sur les systèmes complètement orthogonaux dans l'espace 

 à n dimensions ci sur la réduction des systèmes différentiels les plus généraux. 

 Note de M. Jilscs Dkach, présentée par M. Daiboux. 



« Je présente ici, sur le conseil de M. Darboux, les résultats essentiels 

 d'un travail relatif aux systèmes— fois orthogonaux dans l'espace 



à n dimensions et à la réduction des systèmes différentiels généraux. 



» I. Le point de dcpa"it de ces recherches a été la remarque immédiate 

 suivante : Soit un système complètement intégrable quelconque d'équa- 

 tions aux dérivées partielles S ; les solutions z, + e'Ci, • • •) -/> -t- i(,p voisines 

 d'une solution particulière quelconque s, , .... Zp, sont définies par un nou- 

 veau système complètement ■ intégrable, linéaire, 1, que M. Darboux 

 appelle le système auxdiaire. Si la solution ::,, .... Zp est de situation 

 générale, la solution la plus générale de 2 a, au point de vue de Cauchy, 

 le même degré de généralité que la solution générale de S. 



» Considérons dans l'espace à n dimensions les systèmes voisins du 

 svstèmc orthogonal formé par n familles de plans; on peut les déterminer 



immédiatement et l'on reconnaît qu'//s dépendent de fonctions 



arbitraires de deux variables et de n fondions arbitraires d'une variable, 

 ces dernières n'étant pas essentielles dans la solution géométrique. Si le 

 système formé par n familles de plans est un système orthogonal de situation 

 générale, les systèmes complètement orthogonaux dans l'espace à n tii- 



meiisions dépendront de — ^^ fonctions arbitraires de deux variables. 



» Malheureusement, pour établir rigoureusement la proposition énon- 

 cée, il laut taire oes raisonnements qui équivalent à une iiéi.einiination 

 (h'recte du degré de généralité de la solution générale du système 



» IL Nous avons été amené ainsi à reprendre les travaux qui permet- 



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