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 tent (le Iraiter cette dernière question, plus particulièrement un Mémoire 

 de M. Dela.'-sns('). Tout en conservant dans ses grandes lignes la marche 

 suivie par ce géomètre, nous avons pu, en un certain nombre de points, 

 abréger son exposition, sans nuire en rien, nous l'espérons, à la clarté. 



» Signalons le procédé suivant qui ramène immédiatement les sys- 

 tèmes à plusieurs fonctions inconnues aux systèmes à une seule inconnue : 

 on pose Z = u^z,-h . . .-\- Up:^j„ les :; désignant les diverses fonctions 

 inconnues et les ti de nouvelles variables ; on remplace dans les équations 



du système Z: par^-- et 1 on aïoiile les équations =; ; — = o. 



» Si l'on observe que tout système peut être ramené au premier ordre 

 en augmentant le nombre des fonctions inconnues, on peut en conclure 

 rpie tout système se ramène à un système du second ordre à une seule fonction 

 inconnue en augmentant le nombre des variables. 



» Ce théorème est capital pour l'étude des transcendantes qui vérifient 

 des é(juaiions aux dérivées partielles. Il partage ces transcendantes en 

 deux classes suivant qu'elles sont ou non liées à leurs dérivées premières 

 par une équation au moins (-). Nous avons donné dans un autre travail 

 une classification de toutes les transcendantes de la première classe qui 

 s'étend aussi aux transcendantes de la seconde classe que l'on peut rame- 

 ner à la première en augmentant le nombre des variables. Il ne restera 

 donc à étudier que les transcendantes essentielles du second ordre, sur 

 lescpielles rien n'a été fait jusqu'à présent. Nous y revientlrons prochaine- 

 ment. 



» III. L'application des méthodes générales au système (i) se fait sans 



difficulté. Le système (i) permet de calculer toutes les dérivées -,—'- où i 



est inférieur à k, en fonction des autres; en dérivant ces équations, on a 

 une fois seulement toutes les dérivées du second ordre, sauf les dérivées 



-—^S - — ^^— , -fl où i est égal ou supérieur à A. On peut prendre arbi- 



Irairement les fonctions de deux variables auxquelles se réduisent les 



dérivées j^ où i est supérieur à k, quand Xj et Xi^ varient seuls et les 



ionctions d'une seule variable auxquelles se réduisent les y-^ quand 

 a?,- varie seul. La solution ainsi définie est générale. 



(') Annales de t' École Normale supérieure, 1896. 



(^) Rationnelle par rapport à tous les éiéments qui y figureiU. 



