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» IV. Il résulte de là qu'une surface arbitraire, qui dépend d'une fonc- 

 tion arbitraire de {n — i) variables, ne peut faire partie d'un système 

 complètement orthogonal que pour n = 3. 



» Nous avons cherché à étendre au cas de n variables la méthode de 

 M. Maurice Lévy, qui permet de former les équations que doit vérifier la 

 coordonnée y,, regardée comme fonction des coordonnées jj, .. .,r„ et 

 du paramètre a?,, pour que la famille de surfaces 



x^ = const. = ç(y|, y,, . . . . y„) 



fasse partie d'un système complètement orthogonal. On trouve ainsi 



{n—\){n — i), . ].-•' j • ^ ' • 1 

 -^ équations du troisième ordre, qui sont en. gênerai néces- 

 saires et suffisantes et qui sont les analogues de l'équation obtenue dans le 

 cas de trois variables. 



» V. M. Darboux, à qui nous avons communiqué nos résultats, a bien 

 voulu nous adresser les bonnes feuilles d'un Ouvrage ('), où il étudie 

 plus en détail ces dernières questions. Il y démontre en particulier que 

 le paramètre a?, considéré comme fonction des variables y,, y„...., y„ 

 satisfait à deux groupes d'équations du troisième ordre : les unes en 



nombre ^^ étant les analogues de celle que l'on connaît pour 



le troisième ordre, les autres en nombre 



(« — OC'* — 2)(« — 3) 

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exprimant des propriétés de chacune des surfaces de la famille. Ce 

 résultat n'est contradictoire qu'en apparence avec celui signalé plus haut. 

 On peut établir en effet que, sauf des cas singuliers, les équations du premier 

 groupe sont suffisantes, c'est-à-dire permettent de remonter aux équa- 

 tions (i). Les équations du second groupe sont simplement les conditions 

 d'intégrabilité des équations du premier groupe. 



M Les cas singuliers sont ceux où les racines de l'équation en >. qui 

 détermine en chaque point de la surface les (« — i) directions principales 

 ne sont pas distinctes. Un autre cas à exclure est celui où tous les élé- 

 ments [7. de M. Darboux (-) scnit nuls; ce dernier cas se présente en parti- 



( ' ) Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes. Gaulhicr- 

 Villars, 1898. 



C) Chapitre VI, p. laS. 



