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ciilier lorsqu'on cherche toutes les familles de surfaces parallèles qui 

 peuvent faire partie d'un système complètement orthogonal. Nous revien- 

 drons ultérieurement, si l'Académie nous le permet, sur l'examen de ces 



cas singuliers. 



GÉOMÉTRIE. — Sur- les surfaces de Weingarten; par M. A. Pellet. 



« Soient A-di--\- B-du- le carré de l'élément linéaire d'une surface de 

 Weingarten, J[^-di- + M'^-du'^ le carré de l'élément linéaire de sa représenta- 

 tion sphérique, R et R, les rayons de courbure principaux; A, B, A,, irt>, R, 

 R, sont fonctions d'un même paramètre v, et l'on a 



A' _ X' _. B' _ nv _ n _ *^ R _ '^ 



■B-"^-^' A~X-!'' '^~X' "'^iib 



(') XDl,= -;y->. 



à ^ , â , 

 du " Ot ' ' 



» Supposons que la surface ne soit pas à courbure totale constante. Les 

 courbes le long desquelles la courbure totale de la surface ne varie pas ne 

 sont autres que les courbes correspondant à une même valeur de v. Pour 

 que la surface soit applicable sur une surface de révolution, il faut d'abord 

 que ces courbes soient parallèles; mais cette condition nécessaire est aussi 

 suffisante. En effet, elle se traduit par l'équation 



(2) A-v^^' 4- B-Vj' = fonction de V. 



» Or, les dérivées premières de l'équation (i) et les dérivées premières 

 et secondes de l'équation (2) donnent sept équations nouvelles, entre les 

 neuf dérivées premières, secondes et troisièmes de la fonction v; ces déri- 

 vées sont donc des fonctions de v, ce qui exige que v soit de la forme 



m et n étant des constantes. Si l'on rapporte la surface aux trois axes rec- 

 tangulaires formés par la normale et les tangentes aux lignes de courbure 

 en un point [voir mon Mémoire Sur la théorie des surfaces et. des courbes 

 (^Annales de l'École Normale, 1897)], les coefficients de son équation ne 

 dépendent de t et de u que par la fonction v; il en est de même des équa- 

 tions de la courbe (v) qui passe par ce point. Les courbes (v) sont donc 

 des hélices et la surface un hélicoïde. I^es lignes de courbure sont coupées 



