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» Si les deux fonctions deviennent infinies ou indéterminées pour une 

 suite dénombrable rie points de la ligne singulière, et si, pour tous les 

 autres points de cette ligne, elles ont des valeurs égales, on peut encore 

 considérer l'une des fonctions comme un prolongement analytique de 

 l'autre, car ces deux fonctions constituent une seule fonction continue, 

 pourvu que le chemin décrit par la variable ne soit jamais tangent à la 

 ligne singulière et ne la coupe jamais en un point d'indétermination; mais 

 il peut la couper, sous un angle non nul, en chacun des autres points, qui 

 forment une suite non dénombrable. 



» Si les points singuliers absolus forment une suite dénombrable, et 

 si les deux fonctions et leurs dérivées d'ordre quelconque prennent les 

 mêmes valeurs en tous les autres points de la ligne singulière, on obtient 

 une fonction unique qui reste continue, ainsi que toutes ses dérivées, 

 pourvu que le chemin décrit par la variable ne passe jamais par un point 

 singulier absolu et ne soit jamais tangent à la ligne singulière. 



» Je compte étudier dans un Mémoire plus étendu les conséquences des 

 définitions précédentes; mais il est facile de montrer par des exemples 

 qu'elles s'appliquent à des cas très généraux. Considérons en particulier la 



_, a 

 série >- — — » étudiée par M. Borel. Supposons que l'ensemble dérivé de 



de l'ensemble des points a forme une courbe analytique fermée, et que cet 

 ensemble dérivé comprenne l'ensemble des points a u , qui seront alors tous 



sur cette ligne singulière. Supposons en outre que p — —augmente indé- 

 finiment avec n, de façon que la série V n p A„ soit convergente quelque 



soityD. Tous les points a a sont singuliers absolus; il peut y en avoir d'autres 

 sur la ligne singulière, mais ils forment une suite dénombrable. La fonction 

 est ainsi continue dans tout le plan, ainsi que ses dérivées, sauf aux points 

 singuliers absolus. Soit, par exemple, la fonction 



v h " . = y =" ^-y "" , 



^j i _ ze nu " **t i — /ie" u " ±* i — /h'-""" 



où - est incommensurable. Cette fonction reste continue ainsi que ses 



dérivées, pourvu que le chemin décrit par s ne soit jamais langent à la cir- 

 conférence de centre O et de rayon i, et ne coupe cette circonférence 

 qu'en des points z == c™', où y. n'a jamais une valeur de la forme nu zh2&iî, 



