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valeurs qui forment une suite dénombrable. Les fonctions ainsi obtenues 



sont uniformes dans tout le plan. 



» Supposons que deux fonctions, définies dans deux régions différentes, 

 aient des dérivées d'ordre [«.qui constituent une même fonction continue 

 dans les conditions précédentes. Si en outre ces deux fonctions el leurs y. 

 premières dérivées sont égales en un point commun, sur la limite de leurs 

 régions, nous dirons encore qu'elles constituent une même fonction, ou 

 forment un prolongement analytique l'une de l'autre. C'est le cas de la 

 série — \„ Log ( : — <i„ ), où les a u el \„ remplissent les mêmes conditions. 

 Cette fonction, limitée à la ligne singulière, est uniforme; mais elle a une 

 infinité de valeurs si la variable peut se déplacer dans tout le plan, sans 

 passer 1 par les points singuliers absolus. 



» Considérons, par exemple, la fonction 



se 



- YA"l.og< i - zr ' 



n - l i t. 1 



où - est incommensurable, et L i = o pour z = o. Elle reste continue dans 



i: ' 



les mêmes conditions que sa dérivée V- ; mais si la variable décrit 



i £u i — se na " 



un contour fermé qui coupe la circonférence singulière aux points e°", e$', 



la fonction est augmentée de ir.illt" , où n ne prend que les valeurs telles 



que rtto — 2&iz soit compris entre — x et — (i. Si | h | <[ -, ces valeurs sont 



toujours différentes, à chaque arc correspond ainsi une nouvelle valeur, et 



les valeurs que peut prendre celte fonction continue forment une suite non 



dénombrable. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les points singuliers d'une fonction définie 

 par une série <le Taylor. NotedeM. Servant, présentée par M. Poincaré. 



« Soit une série de Taylor de rayon de convergence égal à i , 

 /(z) = c -h c, z ■+- r, z 2 -+- . . . ; 

 la recherche îles singularités de la (onction analytique ainsi définie a été 



