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entreprise pour la première fois par M. Hadamard ( ' ), qui l'a résolue com- 

 plètement dans le cas où ces singularités sont des pôles ainsi que dans 

 quelques autres cas particuliers. Depuis, MM. Fabry ( 2 ), Leau et Le Roy ( 3 ) 

 ont contribué à étendre ces résultats. Je me propose, dans cette Note, 

 de rappeler une méthode générale pour le calcul de ces points singuliers, 

 que j'ai développée dans un Mémoire envoyé dernièrement à l'Académie, 

 au concours pour le grand prix des Sciences mathématiques, et d'en tirer 

 quelques conséquences. 



» Considérons la fonction entière adjointe de la fonctiony(s), 



, . , x c.a c.,a l c.a" 



E(a)=c,+ -i- + -^ r +... + -i T -+.... 



» M. Borel a démontré que la condition nécessaire et suffisante pour que 

 le point i soit singulier était que l'on ait 



(i) lim. sup. e"E[a(r + s)] ^ <> (a réel), 



si petit que soit le nombre positif t. Considérons alors la limite supérieure 



pour a = -xj de mod[E(«ic]" (x réel). Si cette limite est égale à e x , il est 

 bien évident que le point i sera singulier, car la condition (i) est remplie; 

 inversement on voit de suite que si le point i est singulier, on a 



l 

 lim. sup. [E («;»•')]" = e~. 



» La condition (i) se généralise facilement : si l'on pose 



z = ? e'\ 



on voit de suite que la condition nécessaire et suffisante pour que le 

 point i soit singulier est que l'on ait 



lim.e-°E(ape' 6 )^o, 



quand 



p cos 9 — i > o ; 



on démontre alors facilement que l'on a 



t 

 lim. sup. [E(az)f= e? 00 * 9 , 



(') Hadamard, Thèse de doctorat, 1892. 



( 2 ) Fabry, Annales de l'École Normale, 1896, et Journal de Mathématiques, 1 898. 



( 3 ) Le AU, I.E Roy, Comptes rendus. 1898. 



