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 H étant voisin de o et compris entre certaines limites faciles à déterminer. 

 » Plus généralement si l'argument du point singulier est «on aura 



i 

 lim.sup.[E(a3)f=eP C0S < 8 "*>, 



et l'on voit de suite comment cette formule permet de déterminer les points 

 singuliers de /"(s) situés sur le cercle de convergence et même sur le poly- 

 gone de sommabilité, quelle que soit leur nature. 



» M. Borel a démontré (' ) qu'en général le cercle de convergence d'une 

 série de Taylor est une coupure; on en déduit que pour une série E(a), où 

 les coefficients sont quelconques, on aura, quel que soit l'argument de z, 



i 

 lim. sup. [E(<3z)p = ep, 



ce qui revient à dire que pour les valeurs très grandes de la variable 

 le module de la fonction entière E(s) ne dépend que du module de la 

 variable; inversement il serait sans doute aisé de démontrer directement 

 cette proposition et d'en tirer une nouvelle démonstration du théorème de 

 M. Borel. 



» En partant des résultats du même auteur on démontre facilement que 

 si./"(s) est régulière à l'origine E(a) est d'ordre apparent égal à i ( 2 ); on 

 peut alors écrire cette fonction sous la forme 



e(«>= *•![(, 



1t * 

 ou 



à 



E(as) 



Oa _ V^ 



E ( a s ) -^d j 



a„ 



Si l'on continuait les calculs sans se préoccuper de la convergence des 



(') Borel, Comptes rendus, 1896, et Acla mathematica, 1897. 

 ( 2 ) On peut généraliser ce résultat en multipliant les divers ternies du développe- 

 ment de/(s) par les coefficients du développement de Taylor d'une fonction entière 



simple de genre— (par exemple d'un sinus d'ordre supérieur); on en déduirait un 



théorème analogue à celui de M. Hadamard {Journal de Mathématiques, 1893), per- 

 mettant de reconnaître l'ordre d'une I :tion entière à l'aide des coefficients de la 



série. 



