(X-«Y)s=y-Z, 



a' x -\- h' y -+- c'z -+- c?' = 



( 84 ) 

 équations données par M. Lie (') 



(i) -Z* = *-(X + j"Y), 



fait correspondre à la ligne droite 



(2) ax •+■ by-\-cz -+-d— o, 



la sphère ( 2 ) 



(3) 



» En tentant de trouver de semblables transformations dans les espaces 

 à un plus grand nombre de dimensions, on peut chercher à déterminer 

 les formes des fonctions qui définissent la correspondance voulue en expri- 

 mant la condition que le déterminant correspondant sera capable de 

 représenter le premier membre de l'équation d'une hypersphère. 



» Ainsi, si dans l'espace à n dimensions, la ligne droite 



(4) 



y a,jXj -+- -/,-,„ =0 (i'=l,2 n — 1 ) 



/ = ' 



doit être transformée en sphère par la correspondance établie par les 

 équations 



(5) 



l'équation 

 (6) 



2?«( X X„).r,-f- ?0 (X ,X„) = o, 



1 = 1 



i = n 



2k<* X B )*,-+-+ a (X X„) = o, 



*..!>. *8, ?«-«> kl] =0 



( 1 ) Voir Lie, Ueber Complexe, insbesondere Linien-und Ku gel-Complexe | Muthe- 

 matische Anna/en, t. V, p. 167 et suiv.), et Darboux, Leçons sur la théorie générale 

 des sur/aces, t. I, p. 23o-233, 249, 25o; t. IV, p. 174 et- sim . 



( 2 ) Voir Goursat, Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées du premier 

 ordre, rédigées par Boirj.et, p. 2Ô5-26G. 



