(85) 



doit se réduire à la forme 



(7) 2X*(X|+P0 + T = ° 



(P,-, y constantes). 



» Il résulte de celte méthode : 



» i° Que pour les espaces à n dimensions (/i ]> 4) il n'y a point de cor- 

 respondances de la forme (5) entre les lignes droites et les sphères; 

 2 que pour l'espace à quatre dimensions la transformation déterminée 

 par les équations directrices 



\ a?H-(Z--»W)*-(XH-»Y)(«» + i) = o, 



( 7-(X-('Y);-(Z + (W)(w + i) = o 



(8) 



transforme actuellement les droites arbitraires en sphères. 



» On peut ajouter, relativement à la transformation définie par les 

 équations (8), que les propriétés caractéristiques de la transformation se 

 révèlent sans peine en notant que la droite 



(9) w + Iz ■+- a = o, x-\-mz-\-b 



o, 



y -+- n z -+- c = o 



est transformée en la sphère 



/ 



(10) 



Z-j'W - m 

 X- î'Y + rc 



1 a 



-(X + iY) 



Z + iW 



o. 



» Parmi ces propriétés on peut remarquer : i° que la transformation 

 n'est pas une transformation de contact, comme le critérium (') de M. Lie 

 le montre; 2 qu'elle dégénère en la transformation de M. Lie quand la 

 quatrième dimension s'annule; 3° que la correspondance directe est (1,1), 

 mais que l'inverse est (1, ce 1 ); /j° que si une droite réelle doit être trans- 

 formée en une sphère réelle la sphère se réduit à un point, mais qu'autre- 

 ment le rayon de la sphère est différent de zéro. 



» Il n'échappera pas à l'observation du lecteur que la méthode dont on 

 s'est servi ci-dessus peut être employée à construire des correspondances 

 entre les lignes, les plans et les hyperplans des ordres divers d'un espace 

 à n dimensions, et les hypersurfaces de cet espace, respectivement, non 



(') Voir Lie, Théorie der Transformationsgruppen, unter Mitwirkung von En gel, 

 t. II, p. i5o-i55. 



C. R., 1899, 1" Semestre. (T. CXXV1II, N° 2.) l^ 



