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 La démonstration des théorèmes ci-dessus repose sur l'étude des fonc- 

 tions (' ) 



n — m 



dz v^ dx m+i 



U * = ^~ 2> 



rn-\-i 



de 



1 = 1 



*» Pm+h x m+i représentant les valeurs (3), (4), (5), c étant l'une des con- 

 stantes y contenues. Pour satisfaire aux conditions (2) il est nécessaire et 

 suffisant que les équations (5) soient résolubles par rapport à n — m con- 

 stantes quelconques, les fonctions \J C correspondantes étant identiquement 

 nulles. De plus, si les n — m -\-i autres fonctions U c ne s'annulent pas, la 

 solution obtenue est précisément une intégrale complète des équations (0- 



» Cette assertion devient évidente, quand on prend en considération 

 notre travail cité et les deux lemmes suivants : 



« I. En vertu des équations (3), (4), ( ï), la formule 



A = l 



est une différentielle exacte, que nous nommerons dW. 

 » II. La fonction \J C est définie par l'équation 



IL =UV -Av. 



w 



U°, W désignant les valeurs des fonctions U c , Vf correspondant aux valeurs 

 initiales des x t , x. 2 , . . ., x m . 



» Il est, enfin, évident que ces recherches ne se rapportent qu'au do- 

 maine où les H*, considérées comme fonctions des variables indépendantes 

 x t , x 2 , . . ., x„, z, p m +,, p,„+ 2 , ...,p n , sont holomor |>hes. C'est pour ce do- 

 maine seulement que la différentielle dW admet une intégrale holomorphe, 

 et, par conséquent, la Jonction 



■s. 



\v 



dans tout le cours de nos calculs, a une valeur finie. » 



(') Voir Bulletin de la Société mathématique de France, t. X, p. 223. 



