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prolongement analytique, mais en augmentant le nombre des variables. 

 Prenons, par exemple, la partie réelle u(.r, y) d'une fonction analytique 

 de z = x -f- iy, qui aurait pour coupure une certaine courbe fermée C ; la 

 fonction u est définie à l'intérieur de C et n'a aucune signification en 

 dehors de C en se plaçant au point de vue usuel. Or, supposons qu'on 

 paisse trouver une fonction analytique réelle 



V(x,Y,t) 



des trois variables réelles x, y et l, fonction définie pour toute valeur 

 réelle de x, y et l (quand l n'est pas nul), et pour toute valeur de (x,y) 

 correspondant à un point non situé sur la courbe C, quand t est nul. On 

 suppose de plus que l'on ait dans C 



F (oc, y, o) = u{x,y). 



On peut alors aller d'un point A (à l'intérieur de C) à un point B (à l'exté- 

 rieur) sans franchir C, en cheminant dans l'espace {oc, y, t); on fait ainsi 

 une succession de prolongements analytiques et l'on arrive en B avec une 

 valeur déterminée. J'ajoute que les fonctions analytiques réelles de plu- 

 sieurs variables réelles, que nous considérons ici, doivent être définies 

 comme je l'ai fait au tome II de mon Traité d'Analyse (p. 18). 



» Je me contenterai de donner un exemple. Prenons, dans un cas parti- 

 culier très simple, la fonction considérée par M. Borel 



» Je suppose, pour fixer les idées, que les points a lt soient des points de 

 la circonférence C de rayon un, dont l'argument est commensurable avec 

 27u. Quant aux A„, ce sont des quantités positives, et la série lA n est 



convergente. Nous avons 



» Il suffira de prendre 



( x _ «„)* + (; -p„) 3 -M' 



pour avoir une fonction répondant aux conditions demandées, et ainsi 

 nous relions en quelque sorte analytiquement les valeurs de la série (i) à 



