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théorèmes démontrés donnent lieu à des conséquences remarquables sur 

 l'intégration des équations en question : 



» 1. Supposons qu'on a n — m intégrales distinctes en involution (') du 

 système (2); son intégration se ramène à une quadrature. 



» En effet, en joignant ces intégrales aux équations (1), il vient un 

 système en involution, dont l'intégrale complète est définie par une qua- 

 drature. Cela posé, les formules du premier théorème rien que par des 

 différentialions nous donnent les n — m intégrales cherchées du sys- 

 tème (2). 



» Ce fameux théorème, que M. S. Lie a annoncé ( 2 ) sous une forme 

 toute différente, est une généralisation évidente de celui de Liouville ('') 

 sur les équations canoniques ordinaires. 



» 2. Si l'on connaît k(/c<^n — m) intégrales distinctes en involution du 

 système (2), son intégration revient à celle d'un système canonique aux diffé- 

 rentielles totales d'ordre 2/1 — im — ik. 



» 3. Le problème d'intégration du système (2) n'exige que n — m opéra- 

 tions d'intégration d'ordre 'in — im, in — -im — 2, . .., l\, 2 et une qua- 

 drature. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les groupes d'opérations. 

 Note de M. G. -A. Miller, présentée par M. Jordan. 



« A. Une énuméralion de tous les groupes possibles dont l'ordre 

 n'excède pas 35 a été donnée dans les Comptes rendus, t. CXX1I, p. 3- r. 

 J'ai déterminé récemment tous les groupes possibles dont l'ordre est infé- 

 rieur à 64. Le Tableau suivant donne les nombres de ces groupes pour 

 chaque ordre : 



Ordre 36 



Nombre de groupes. . . \\ 



Ordre 5o 



Nombre de groupes. . . 5 



(') Nous disons que les intégrales sont en involution, quand les parenthèses de 

 Poisson, formées de leurs premiers membres par rapport aux variables x m+i , />,„+,, 

 s'annulent identiquement. 



H Malh. dan., Bd. XI, S. 469. 



; ' Journal de Liomille, 1" série, t. XX, p. 1 '<- . 



