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» La plupart de ces nombres peuvent aisément se déduire des formules 

 données par M. Holder dans son article : Die Gruppen der Ordnungen p 3 , pq- , 

 pqr, p" (Malhematische Anna/en, t. XLIII, i8o,3). Il y a toutefois exception 

 pour les groupes des ordres 36, 4o, 48, r>4> 56 et 60. Ceux de l'ordre 56 

 sont donnés par les formulés de M. Levavasseur ('). Ceux de l'ordre 60 

 sont donnés par M. Burnside, dans son Livre récent, Theory 0/ groups 0/ a 

 faille order. iH;) 1 -, p. io5. 



» Le problème de la recherche de tous les groupes de l'ordre 48 est 

 beaucoup plus difficile que ceux pour les autres ordres qui sont donnés 

 plus haut. A cause de cela, nous donnerons quelques résultats importants 

 de ces groupes. Il y a seulement deux groupes de l'ordre 48 qui ne con- 

 tiennent aucun sous-groupe de l'ordre 24- Chacun de ces deux groupes 

 contient 16 sous-groupes conjugués de l'ordre 3 et seulement un sous- 

 groupe de l'ordre 16. Ces sous-groupes invariants de l'ordre 16 sont abé- 

 liens. L'un a 4 générateurs indépendants de l'ordre 2 et l'autre a 2 géné- 

 rateurs indépendants de l'ordre 4- H Y a i4 groupes de l'ordre 48 qui sont 

 les produits directs d'un groupe de l'ordre 16 et le groupe de l'ordre 3; 

 5 de ces i4 groupes sont abéliens et 1 est hamiltonien ( 2 ). 



» B. Les groupes de l'ordre 54 sont un cas spécial des groupes de 

 l'ordre ip 3 . Quand p est un nombre premier impair, il y a i5 groupes 

 de l'ordre ip 3 pour chaque valeur de p. 3 de ces groupes sont abéliens, 

 mais aucun n'est hamiltonien. 10 contiennent un sous-groupe abélien de 

 l'ordre p 3 , mais 2 seulement contiennent 1 sous-groupe circulaire de 

 cet ordre. Tout groupe de l'ordre 2p" contient 1 seul sous-groupe de 

 l'ordre p 3 . Quand p = 2, il y a seulement 14 groupes, et ces groupes sont 

 bien connus. 



» C. M. Bagnera a récemment considéré le problème de la recherche 

 de tous les groupes dont l'ordre esl p 5 (p étant un nombre premier quel- 

 conque (Annali di Matematica, t. I, p. 137-228; 1898). Dans le cas parti- 

 culier où p — 2, ce problème était résolu comme j'ai dit plus haut. Les 

 résultats de M. Bagnera s'accordent avec les publications plus anciennes 

 dans les cas où les groupes sont abéliens ou contiennent huit opérations 

 qui sont commutatives à chacune des opérations de groupe; mais dans les 

 autres cas, ces résultats ne s'accordent pas. Au sujet de ce désaccord, j'ai 



(') Levavasseur, Comptes rendus, t. CXX11, p. 5i6. — Milleh, Phil. Mag. } t. XLII, 

 p. i 9 5. 



(*) Dedeki.nd, Mathematische Annalen, t. \LY11I, p. 54g- 



