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 sant aux conditions énoncées en (i), sans nous inquiéter si ces produits font 

 partie ou non de ceux qui entrent dans le développement de \\. 

 » Prenons-en maintenant un quelconque : 



— \- = n a . na 

 et étudions les valeurs 



v/Â -4- 1 y/Â 4- 5. 



ï = y et — = y . 



«a ^ «? ^ 



» On voit aisément que ces valeurs se développent en fractions con- 

 tinues, et ces développements donnent lieu aux trois théorèmes secon- 

 daires suivants : 



» I. Si, à un moment donné, on a, dans le calcul de y ou de y', n p = n } , , 

 ou encore /)p_, = n p+i , à partir de n p , ,, toute la série des valeurs n qui ont 

 précédé se répète clans l'ordre inverse; les valeurs b^, quotients incomplets, 

 suivent la même loi. 



» II. Si Ton a une fois un produit n^.n^,, tel que /?,,.= «> et n^, = tïx-h 

 n x-i - n i étant un produit précédemment obtenu, la loi précédente subsiste pour 

 les valeurs n et les quotients incomplets b entre n x et n [t . et en dehors de «>_, 

 et n^,. 



» III. Si, au contraire, on a n\ = n^ et ri\ +t = n [l+l , les valeurs n^ et n v , 

 font partie d'une seconde période qui est la répétition de celle à laquelle appar- 

 tiennent n x et «x + |. 



» Remarque. — Si une période se produit suivant le théorème III, il est 

 de toute évidence qu'elle commence avec le premier quotient incomplet. 



» Si cette période présente un quotient incomplet B entraînant la symé- 

 trie prévue aux autres théorèmes, le premier quotient incomplet b t se 

 retrouvera après B, sans recommencer la période. De là au commence- 

 ment de la nouvelle période il est facile de démontrer qu'il v aura encore 

 un quotient incomplet D entraînant une seconde symétrie. 



» De ceci, nous pourrons établir le théorème général suivant : 



» Théorème général. — Les valeurs — - = y et — - = y', déduites 



de A — a 2 = n .n^ donnent deux fractions continues périodiques simples, dont 

 l'une a pour quotients incomplets ceux de l'autre pris dans l'ordre inverse. 



» En effet, le calcul des quotients incomplets nous conduit d'un produit 

 du tableau à un autre; mais, comme le nombre des produits est limité, il 



