( 23 1 ) 



arrivera forcément un moment où, retrouvant pour la première fois un fac- 

 teur rip égal à un autre facteur n-, déjà obtenu, on aura les alternatives 

 suivantes : 



» i° On trouvera un nouveau produit renfermant ce facteur avec un 

 autre permettant de continuer le développement; 



» 2° Après l'épuisement des produits, ou après une rencontre comme (a 

 précédente, mais où aucun produit ne permet la continuation, on devra se 

 reporter aux deux valeurs qui ont accompagné ny la première fois : 



I a i "v-nx-i. 



(//) lly.ll; ,. 



» On ne peut pas continuer suivant (a) avec n^ +{ = »)._i, car la symétrie 

 résultante (théorème II) entraînerait une répétition antérieure. Le pro- 

 duit (&) avec 7!). + , = n^f.f permet la continuation. Il en résulte alors cpie 

 la période recommence en n^, avec le premier quotient incomplet du dé- 

 veloppement, et sans symétrie, puisqu'il n'y a pas eu de termes répétés 

 antérieurement. 



» 3° Si cette alternative ne se présente pas, il ne restera plus comme 

 issue que l'une des deux formes ci-dessous : 



ou le produit 



(e) W-,; 



ce produit entraîne alors n^, = n v __ t . 



» Dans ces deux cas, la symétrie se produit à partir de ces valeurs. Il 

 est alors facile de démontrer que, après la répétition du premier quotient 

 incomplet, par raison de symétrie, il existe une nouvelle symétrie depuis 

 cette répétition jusqu'au commencement de la deuxième période. Donc la 

 fraction continue est périodique simple, sans symétrie, ou avec une symétrie 

 double. 



» Les lois qui régissent la symétrie des quotients incomplets et des pro- 

 duits permettent d'établir que le quotient complet qui suit la répétition du 

 premier terme dans y est la valeur y' elle-même. Lu outre, le dernier 

 terme de la période étant égal au premier terme de la seconde moitié, et 

 ainsi de suite pour les autres, la valeur y' est formée des quotients incomplets 

 de y pris dans l'ordre inverse. Un raisonnement analogue se fait aussi quand 

 il n'y a pas symétrie. » 



