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GÉOMÉTRTE. — Sur la déformation des quadriques de révolution. Note 

 de M. C GriciiARD, présentée par M. Darboux. 



« J'ai déjà établi {Comptes rendus, 18-8 ) que la déformation des qua- 

 driques de révolution qui ont un centre se ramène à celle de la sphère. 

 Les théorèmes qui suivent, théorèmes qui sont une conséquence immédiate 

 de la théorie des systèmes de cercles et de sphères que je développerai 

 prochainement, mettent en évidence les relations géométriques qui existent 

 entre les déformées de la sphère et celles des quadriques de révolution. 



» I. Soient M un point d'une quadrique de révolution dont l'axe a une. 

 longueur ia; F, et F., les foyers de celte quadrique, cp, et ç 2 les symétriques 

 des foyers par rapport au plan tangent en M ; M' le point qui correspond à M 

 sur une déformée de la quadrique; transportons la quadrique de façon que le 

 point M vienne en M' et que les tangentes correspondantes en M et M' viennent 

 coïncider; les points F,, F., o,, o... prennent les positions F,, F' a , ç' 4 , f' a ; ces 

 points V \ , F.., o\ o '„ décrivent des surfaces dont la courbure moyenne est égale 



à -• 



a 



» Il en résulte que les milieux des segments F", <p' a et F!,<p' ( décrivent des 

 surfaces applicables sur une sphère de rayon a. 



» Si la quadrique donnée est un paraboloïde de révolution, les points F', , 

 o\ décrivent des surfaces minima. 



» II. Les plans isotropes menés par l'axe coupent le plan tangent suivant 

 deux droites D et D' qui viennent occuper les positions A et A' sur le plan tan- 

 gent en M' à la déformée de la quadrique ; ces droites A et A' sont normales 



a des surfaces dont la courbure moyenne est -; les points de ces droites qui 



décrivent des surfaces à courbure moyenne constante correspondent aux points 

 d'intersection des génératrices isotropes de la surface avec le plan langent en M 

 à la quadrique. 



» Dans le cas du paraboloïde de révolution ces droites A et A' sont nor- 

 males à des surfaces minima. 



» Ainsi, quand on connaît une déformée d'une quadrique de révolution 

 on peut construire quatre droites qui restent normales à une surface à 

 courbure moyenne constante; deux de ces droites passent par le point de 

 la déformée, les deux autres sont situées dans son plan tangent. 



» III. Soit A' le point de rencontre des droites ie/A'; ce point correspond 



