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analyse mathématique. — Sur le problème de l itération.. 

 Note de M. Lémeray. 



« On sait que le problème de l'itération consiste, étant donnée une fonc- 

 tion l î , ( = ), à trouver une fonction i(«, s) se réduisant, pour u = o, à z; 

 pour // = i , à $(«), et telle que l'on ait identiquement, quels que soient 

 u, u' et z, 



<b[u, ôl «', s)] = l[(«-4- M' )--|. 



Soit ^ un zéro de ( )'( s) — z; on. suppose que la fonction <I>( z) et son in- 

 verse <I> ,(z) sonl uniformes, continues et régulières en x. D'après les 

 recherches de MM . Kcenigs ( ' ), Grévy ( - ) et Leau ( ' ), il existe au voisinage 

 de x une région R, telle qu'en prenant s dans son intérieur l'une au 

 moins des substitutions 



=,*(*); s,*_,(s) 



converge vers x, à condition de prendre la détermination de $_,( ; ) qui, 

 pour z — x, se réduit à a?. Supposons, de plus, x réel, <1''( r ) positif ou nul 

 et <l»( ';) réelle pour les valeurs réelles de : voisines dex. Plaçons l'origine 

 en x; soient <p(.s) ce que devient la fonction de substitution et y_, (-) son 

 inverse. Les expressions suivantes fournissent une itérée que nous dé- 

 signerons pary("- s). 

 » Premier cas : 



1 1 1 ^(«,3) = lim<p_ m [<p'(o)" <Pin (z)]. 



» Deuxième cas : y'( o) = 1 et, plus généralement, les p — 1 premières 

 dérivées' de œ(z) = s sont nulles pour z = o : 



i(it,z) = limo_„, I i 



,(* 



m{p — 1) 



» Troisième cas : o'(o) = o et, plus généralement, les /> — 1 premières 

 dérivées ne œ(z) sont nulles pour z = o. Posons 



çP(0 ! 



P' 



= P 



i'i t nnates de l'École VormcMè supérieure, i884- 

 ( J ) 7%&«>. 

 ( 3 ) 7%&e. 



