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 et supposons P positif dans le cas où p est impair : 



i(-//,s) = limo_„,|p/'-' [o m (z)]P"i. 



Dans ces expressions, m est un entier positif qu'on fait croître au delà de 

 toute limite. Si - est pris dans la région R, elles définissent une fonction 

 analytique des variables // et :■, et pouvant être réelle quand u et z sont 

 réelles; elles s'appliquent quand il y a convergence par la substitution 

 directe; dans le cas contraire, on changerait le signe de m; dans tous les 

 cas, on prend, parmi les déterminations de <p_,(z), celle qui s'annule 

 pour s = o. 



» De ces trois formules on peut tirer des formules d'inversion expri-' 

 mant u en fonction de z et de la valeur Z de l'itérée supposée donnée 

 (s et Z doivent être pris dans la région R); ainsi de la relation (i ) on tire 



bm log — 



" logo'f.i o tp„,(s) 



Cette expression et la relation (i) se déduisent immédiatement des for- 

 mules données par M. Kcenigs dans le cas où l'on a | ç'(o) | <C '• » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le développement d'une fonction donnée 

 suivant les fonctions harmoniques. Note de M. W. Steki.off, présentée 

 par M. E. Picard. 



« Dans une Note insérée aux Comptes rendus du 4 avril 1898, j'ai 

 proposé une démonstration de la possibilité de développement d'une 

 fonction donnée suivant les fonctions harmoniques de M. H. Poincaré. 

 Comme cette démonstration, d'après la remarque de M. G. Lauricella, 

 qui a donné dans les Atti délia R. Accademia di Torino (Vol. XXXIII, 1898) 

 quelques nouvelles recherches sur ce problème, peut donner lieu à 

 quelques doutes, je me permets de reproduire ici une autre démonstration, 

 simple et rigoureuse, d'un théorème un peu plus général. 



» Pour plus de simplicité, je me bornerai au cas des fonctions 



\ s (s = i. 2, ...), 

 satisfaisant aux conditions 



AV S 4- X,V t =0 à l'intérieur d'un domaine ( Dj, 

 Vj = o à la frontière de (D) ; 



les k s sont des nombres positifs et croissant indéfiniment avec s. 



