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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le prolongement des fonctions analytiques. 

 Note de M. Emile Iîorel, présentée par M. E. Picard. 



« Les intéressantes remarques développées par M. Picard dans la der- 

 nière séance me fournissent une occasion de préciser le point de vue 

 auquel, à mon avis, on doit se placer, pour généraliser la définition du 

 prolongement analytique due à Weierstrass. 



» L'importance de la définition de Weierstrass est due surtout à ce que 

 le prolongement, quand il existe, est unique: mais il y a des cas où il 

 n'existe pas : la fonction a une limite naturelle. Il ne semble guère possible 

 d'espérer définir, dans tous les cas, un prolongement satisfaisant à ces condi- 

 tions; mais ce n'est nullement nécessaire pour généraliser la définition de 

 Weierstrass; il suffit que l'on puisse donner une définition du prolonge- 

 ment, valable dans des cas plus étendus que celle de Weierstrass, et ayant la 

 même propriété essentielle. Il y aura d'ailleurs des cas où la nouvelle défi- 

 nition ne fournira aucun prolongement; dans ces cas, on continuera à 

 dire que la fonction a une limite naturelle, jusqu'à ce qu'une nouvelle 

 extension de la notion de prolongement permette de franchir cette limite. 

 Chaque nouvelle extension devra d'ailleurs, bien entendu, non seulement 

 fournir un résultat unique, c'est-à-dire ne pas être en contradiction avec 

 elle-même, mais encore ne pas être en contradiction avec les définitions 

 précédemment admises. 



» J'ai développé, dans ma Thèse et dans mes Leçons sur la théorie des 

 fonctions, diverses considérations relatives, en particulier, à la continuité 

 de certaines expressions analytiques, sur des courbes au voisinage des- 

 quelles leurs singularités sont denses, considérations qui seront peut-être 

 de quelque utilité pour l'étude du problème que nous venons de poser. J'ai 

 aussi indiqué dans ma Thèse une extension, assurément bien particulière, 



de la notion de prolongement analytique, extension qui satisfait aux condi- 

 tions indiquées plus haut. M. Fabrv, en se plaçant au même point de vue, 

 a obtenu récemment une extension plus considérable de cette notion. 



Mais j'insiste, encore une fois, sur ce fait, qu'à mon avis on doit se proposer 



essentiellement de rendre le problème déterminé, quitte à se restreindre à 



des catégories relativement peu étendues de fonctions. 



« Il ne semble pas douteux, en effet, que, malgré toutes ces extensions, 



le prolongement ne reste impossible, en général, si l'on donne à ces mots 



