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ligne u — const., soient parallèles à une direction fixe (U ( , U 2 , U 8 ), je 

 dirai que la famille u = const. est cylindrée. (On sait que toute famille de 

 lignes de courbure planes est cylindrée.) Si la même propriété appartient 

 aux deux familles du réseau, on dira que la surface est doublement cy- 

 lindrée : telles sont, par exemple, les surfaces de translation, et d'autres, 

 dépendant d'un plus grand nombre de fonctions arbitraires. Je reviendrai 

 sans doute sur la théorie générale de ces surfaces, qui me paraît mériter 

 d'être développée. Je m'attacherai dans cette Note aux surfaces doublement 

 cylindrées suivant leurs lignes de courbure. 



» Si l'on représente leur élément linéaire par Edu 2 -hGdi>- et qu'on 

 pose A i= E[. : 2E, B = G'„ : 2G, la double propriété en question sera ex- 

 primée par neuf relations dont nous écrirons trois seulement 



( 1 ) x" m = Ax'„ -+- Bx' v , x"„, = lx'„ +mU,, x% — ~kx\, ■+■ y. V , . 



» En exprimant les conditions d'intégrabilité de ce système, on trouve, 

 abstraction faite de certaines solutions particulières évidentes (surfaces 

 moulures, etc.), 



/ = B + ^, /;, = AB + A,',, m = N Ë r(ii); 



x = a-h^ 5 x;, = ab + b;„ a = v / GW(^). 



» Ainsi les fonctions E et G ne sont assujetties qu'à vérifier deux équa- 

 tions aux dérivées partielles du troisième ordre 



(2) AB + A„ = B, -+- , " > AB -+- B,, = A„ + , " 



" ou Oi- ' " 1)11 Ov 



qu'il faut d'abord intégrer. En les combinant par voie d'addition et de 

 soustraction, on obtient, par l'intermédiaire d'une équation de Liouville. 



\B- ( ,' \ ■ E=/(u)a' m , G = ? (?Hî 

 la fonction auxiliaire c doit vérifier l'équation 



l'une de celles du tvpe s 2 = kpq qui ont élé intégrées par M. Goursat ( Bull. 

 Soc. mathém. de France. t. XXV, p. l 'i I. On a par suite E et G 



E _/(u)f'à U. + VqV G _f(f)fà U + V„ 



(U-t- \ r ' U' \du U + V/' il hV)' V 



v)(d u. + v, y. 

 ' \^" u+v/' 



