( *8 7 ) 

 dans ces expressions,/, U et U sont des fonctions arbitraires de «; <p, V„ 

 et V des fonctions arbitraires de v. 



» Connaissant la forme analytique de l'élément linéaire, on peut, au 

 moyen des équations (i), trouver les expressions des coordonnées x,y, =• 

 On déduit en effet de ces équations la condition 2U,V,= o qui exprime 

 que les deux cylindres qui correspondent à deux lignes de courbure ont 

 leurs génératrices rectangulaires. D'autre part on déduit aussi des équa- 

 tions (i) les quatre suivantes 



qui équivalent visiblement aux équations de quatre plans à l'intersection 

 desquels se trouve chaque point de la surface. La condition pour que ces 

 plans concourent est considérablement simplifiée par l'identité 2U t -V t -= o. 

 qui permet de prendre U, = IL = o, U 3 — i , V, = cosw(p), V 2 = sinio(e), 

 V 3 = o. Mais je dois borner ces indications sur la marche du calcul. 



» Le cas des surfaces isothermiques, doublement cylindrées suivant leurs 

 lignes de courbure, présente un intérêt particulier. Si l'on pose 



E = G = e îA , 

 on reconnaît que le système (2) admet les trois solutions 



e*=p(U-r-V)-\ d*=U+-V, e A =-o^TT 



» La première correspond aux surfaces, déterminées par Ossian Bonnet, 

 qui admettent pour lignes de courbure deux familles de cercles géodé- 

 siques : ce sont des surfaces de Joachimsthal. Or toutes les surfaces de 

 Joachimsthal sont, comme il est visible, doublement cylindrées suivant 

 leurs lignes de courbure. 



» On peut, sans calcul, définir les surfaces qui correspondent à la solu- 

 tion e A = U ■+- V; car il est aisé de démontrer que, si une surface isother- 

 mique admet une famille de lignes de courbure cylindrée, la même propriété 

 appartient à la surface isothermique qui lui correspond gëo graphiquement 

 en vertu du théorème de Christoffel. Or les surfaces actuelles sont préci- 

 sément celles qui correspondent géographiquement aux précédentes. 



» Ces deux premières classes de surfaces dépendent d'une fonction arbi- 



