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traire d'un des arguments u et v. La dernière ne dépend que de constantes 

 arbitraires. Les surfaces qui la composent se correspondent géographique- 

 mentdeux à deux, par le changement de V en — V. » 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les surfaces à courbure totale constante. 

 Note de M. Tzitzéica, présentée par M. Darboux. 



« M. Guichard a considéré une classe remarquable de congruences 

 dont les développables découpent sur les surfaces focales leurs lignes de 

 courbure. 



» Soit M le milieu des foyers F, et F a d'un rayon d'une congruence de 

 cette espèce; le point M décrit une surface S qui correspond avec orlhogo- 

 nalité des éléments à une surface à courbure totale constante. Désignons 

 par M/, et M /"<> les tangentes aux courbes du réseau déterminé sur S par 

 les développables de la congruence considérée,/, et/., étant en dehors de M 

 les foyers des congruences décrites par M/", et Mf... 



» Il est aisé de voir qu'en disposant convenablement des notations 

 les tangentes aux lignes de courbure de la surface engendrée parle point F, 

 sont F,F 2 et F,/, ; de même pour F 2 , ce sont F 2 F, et Y 2 / 2 . Cela étant, on 

 peut démontrer géométriquement ou par le calcul que M/, est l'axe d'un 

 cercler, qui passe par F, et qui décrit un système cvclique; de même, le 

 cercle T., ayant M/!, pour axe et passant par F a décrit un autre système 

 cyclique. 



» Parmi les plans perpendiculaires à F, F 2 on sait qu'il y en a ac' qui 

 enveloppent des surfaces de M. Voss (sur lesquelles il y a un réseau 

 conjugué composé de lignes géodésiques). Ces plans contiennent d'ailleurs 

 les cercles ayant F, F 2 pour axe et décrivant des svstèmes cycliques. D'après 

 un théorème de M. Cosserat les points de contact de ces plans avec leurs 

 enveloppes se trouvent sur une même droite A. 



» Considérons maintenant la sphère de centre M et de rayon MF,. La 

 corde de contact de cette sphère avec son enveloppe est, comme nous 

 l'avons montré dans une Communication antérieure (Comptes rendus, 

 t. CXXVII, p. 167), précisément cette droite A; elle décrit une congruence 

 dont les plans focaux se confondent avec les plans des cercles r, et Y.,. Il 

 en résulte que les développables de la congruence formée par les droites A 

 découpent sur ses surfaces focales des réseaux conjugués que M. Guichard 

 appelle cycliques. » 



