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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE . — Sur les lignes de courbure de certaines surfaces. 

 Note de M. Blittel, présentée par M. Darboux. 



« Considérons une surface S dont les lignes de première courbure C et 

 les lignes de seconde courbure G' sont définies respectivement par les 

 équations v = const. et u = const., l'élément linéaire de la représentation 

 sphérique étant ramené à la forme habituelle 



ds 2 = q 2 du- -+- p 2 dv 2 . 



» Nous appelons sphères de première courbure s, et sphères de seconde 

 courbure a' les deux sphères principales relatives à un point quelconque M 

 de la surface S. Lorsque les sphères g relatives à tous les points d'une 

 ligne C coupent un même plan n ou une même sphère 2 qui dépend uni- 

 quement du paramètre v sous un angle 9 dépendant, lui aussi, de ce seul 

 paramètre, nous disons, pour abréger le langage, que les sphères <s coupent 

 le plan II ou la sphère 1 sous un angle constant. 



» Les surfaces à lignes de courbure plane possèdent évidemment cette 

 propriété, car les sphères tangentes à S en tous les points d'une courbe 

 plane C coupent son plan n sous un angle constant; on sait de plus que les 

 centres de seconde courbure se trouvent alors dans un plan fixe II, auquel 

 les sphères c' sont orthogonales, de sorte que ces mêmes sphères coupent 

 sous un angle constant tous les plans du faisceau (II, II, ). 



» D'autre part, nous avons montré (Comptes rendus, t. CXXII, p. 3oi ) 

 que, si S est à lignes de première courbure sphériques, le rayon de seconde 

 courbure, en un point M qui décrit une courbe C, varie proportionnelle- 

 ment à la distance du centre de seconde courbure à un plan fixe II; c'est, 

 sous une autre forme, l'énoncé delà propriété dont il s'agit. De plus, toutes 

 les sphères tangentes à S aux différents points de C coupent la sphère 1 

 qui contient C sous un angle constant, de sorte que les sphères o' coupent 

 sous un angle constant toutes les sphères du faisceau (n, 1). 



» Enfin, plus généralement, si l'on considère toutes les surfaces qui ont 

 même image sphérique qu'une surface à lignes de courbure sphériques, il 

 résulte (loc. cit.) que les sphères n coupent un plan II sous un angle 

 constant. 



» Nous sommes donc amenés à l'étude des surfaces qui possèdent la pro- 

 priété générale signalée plus haut. 



G. R.. 1899, 1" Semestre. (T. CXXVIII, N" 5.) 38 



