( 2()0 ) 



» Soit 

 (i) Vl x a +y 3 + s a ) + 2Y,a;-h2.V !l y-+ 2Y t z -i- 2 V 4 = o 



l'équation de la sphère 2 (V,- désignant une fonction de v, et V = o rem- 

 plaçant la sphère par un plan); soient x, y, z les coordonnées du point M, 

 c, c', c" les cosinus directeurs de la normale, R et R' les rayons de courbure 

 principaux en ce point. 



» La propriété énoncée se traduit par l'équation 



i 2) V 2 R' a - 2VV 5 R'-4-V s -H VI -+-v; - 2VV, =S[V(a?-+-R'c)-t-V,] ï , 



en posant 



(3) V* = (V 2 + X; + V 2 -- aVV, ) cos*6. 



» Différentions par rapport à u, nous aurons 



[V 3 + S(V ; r + V ) )c]^+(R'-R)S(V ; r + V ) )^ = o 



et, à cause de 



ou p t ou x 



nous pourrons éliminer R et R'; nous obtiendrons une équation qui s'in- 

 tègre de suite et fournit 



( 4) V tPi = VSèx -f- V, c + V. 2 c + V s c" 4- V 3 



en désignant par Y„ une nouvelle fonction de v introduite par l'intégra- 

 tion. 



» Inversement, nous pourrons passer de la relation (4 ) à la relation (2). 



» Nous pourrons retrouver les cas particuliers déjà indiqués. 

 V — o donne une relation qui dépend seulement de la représenta- 

 tion sphérique et fournit la dernière catégorie des surfaces signalées plus 

 haut. 



» V, = o fournit évidemment des surfaces à lignes de courbure sphé- 

 riques; car la relation (4) exprime alors que la projection du rayon MO 

 (O désignant le centre de la sphère 1) sur la normale en M a une grandeur 

 constante. 



» V = V = o fournit les surfaces à lignes de courbure planes. 



» V s = o correspond au cas où la sphère i est coupée orthogonale- 



