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» Pour éviter toute complication inutile, je supposerai que les fonctions 

 /(z) et cp(^) sont uniformes clans tout le plan et ne présentent, en dehors 

 du point zéro, d'autres singularités que des pôles simples ; j'admets en outre 

 que /(z) et <p(£) se comportent régulièrement à l'infini et s'y annulent. 

 Cela posé, prenons l'intégrale (2) le long des cercles [ js [ = r, |*| = s et 

 convenons de la désigner dès lors par J rs . Tant que ] x | > r -h s l'intégrale 



J rs est développable, suivant les puissances entières et positives de-» et 



représente par conséquent une fonction de x holomorphe dans le domaine 

 \x\ ]>/■-+- s. Les rayons r et s étant choisis assez grands on aura, pour 

 \*\îr,\t\>s, 



00 00 



(3) k*) =%**£*' ?(0=2&^ 







et, en effectuant le développement de l'intégrale J rs , on trouve 



00 



(4) J r ,, = K a! )=j£ t ( a o b n + "«.^-1+ " a " -a i t ! +...Hi, 



» Maintenant, considérons l'intégrale J,.y, les rayons r 1 et s' étant plus 

 petits que / et s respectivement. Entourons les pôles a def(z) situés entre 

 les cercles I z | = r et \z | = ? par de petits contours (a) et de même les 

 pôles [ï de ç (t) situés entre les cercles 1 1 1 = s et 1 1 \ = s' par de petits con- 

 tours (p). Alors nous pouvons, dans le calcul de l'intégrale J, v , substituer 

 au cercle | z | = ;• le cercle | z | = /•' plus les contours (a.) et au cercle 1 l 1 = s 

 le cercle |*| = s' plus les contours ([3). Si nous effectuons alors les inté- 

 grales se rapportant aux contours (a) et ((3) nous trouvons 



(5) ...Jr^J^ + jAç^-^ + jB/^-p)^^;!!^^!)' 



les constantes A et B désignant les résidus des fonctions/^) et <p(/) rela- 

 tifs aux pôles z = y. et t = fi. 



» Or l'intégrale ] r - it - définissant une fonction de x holomorphe pour 

 \x\^> r' -h s', l'équation (5) fournit évidemment le prolongement analy- 

 tique de la fonction $(x) définie par l'intégrale J rs seulement pour 

 \x\^> r -h s. En outre, on voit que la fonction <j/(a?) n'admet dans le do- 

 maine \x\ ^> r' -+- s' d'autres singularités que les points a et p (qui peuvent 

 être des points singuliers essentiels) et les pôles a -+- p avec les résidus cor- 

 respondants A, B. Les rayons /•', s' pouvant d'ailleurs être choisis aussi 

 petits qu'on le veut, nous sommes amenés au théorème suivant ; 



