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 Considérons les fonctions /("), <p(~) et '\>(z) définies par les séries 







DO 



Si les Jonctions J (s) et <p(s) n'admettent en dehors du point z = o d'autres 

 singularités que des pôles (simples") la fonction ^(s) sera uniforme dans tout 

 le plan et n'admettra, elle aussi, en dehors des points singuliers de f(z) et 

 <p(s), d'autres singularités que des pôles simples. En outre, en désignant d'une 



manière générale par ___ et - — g les parties méromorphes de /(z) et <p(s), 

 fe? parties méromorphes de <j» (s) seront ——— —• 



» Ainsi notre théorème donne une addition des singularités, tandis que 

 le théorème de M. Hadamard en donne une multiplication. 

 » 2. Considérons maintenant l'intégrale multiple 



(6) —V f ? (g " '■»•••• fl p>/'(*»>/»(*0--./,,(s,.) & rf _ , 



l'intégration s'effectuant le long des cercles | z, -| = r { (i = î, 2, . . . , p). Je 

 suppose que les fonctions _/,(.£, ),y 2 (.c,), ...,f p (z p ) sont holomorphes à l'in- 

 térieur de ces cercles et méromorphes avec des pôles simples pour toutes 

 les valeurs finies des variables dont elles dépendent. Quant à la fonction 

 <p(z,,z 2 , ..., z p ) j'admets qu'elle est développable en série toujours conver- 

 gente ordonnée suivant les puissances entières et positives de z,, z.,, ..., z p , 



» Dans ces conditions l'intégrale (6) définit une fonction ^(.r) dea;holo- 

 morphe dans le voisinage de x = o, uniforme dans tout le plan et n'admet- 

 tant à distance finie d'autres singularités que des pôles simples. En outre, 



A A A 

 en désignant d'une manière générale par ! — , — , • ■•, E — les 



parties méromorphes des fonctions /, (z, ),f i (z. 2 ), ...,f p (z p ) respective- 

 ment, les parties méromorphes de <j/(.r) seront 



A] A 2 . . . A„ , . 



———ç^, a,,...,,,). 



» Un cas particulier intéressant est celui où l'on pose 



(7) f l (z)=f 2 (z) = ...=f p (z)=f(z)=a t> +a,z + a,z* + ...+ a n z n + ..., 



