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E(x") = — > et que M. Borel a employée récemment avec succès dans ses 



belles recherches sur les séries de Taylor, projette la série 1n\x n en 1x". 

 Par ces projections, les propriétés de nature linéaire d'une fonction sont 

 conservées. 



» Un autre moyen pourrait être celui que je me propose d'esquisser 

 dans cette Note. Soit A(<p) une opération distributive appliquée à une fonc- 

 tion analytique arbitraire y(&); cette opération jouit en outre de la pro- 

 priété d'être permutable avec la dérivation, que je désigne par le symbole 

 usuel D. On trouve alors sans peine que A(e x ~) = e xz f(z), où /(s) est une 

 fonction de z seulement. On trouve facilement qu'en général, si A' est la 

 dérivée fonctionnelle (' ) de A, on a encore 



si A" est la dérivée fonctionnelle seconde, on a de même 



A"(«") = **«£££>, 



et ainsi de suite. Il suit de là et des propriétés admises pour A, que si cette 

 opération satisfait à une équation symbolique 



la fonction /( z) sera une intégrale de l'équation différentielle linéaire 



» Intégrons maintenant cette équation par une série de puissances, et 

 soit 



(3) f(z)^lk n z" 



la série que l'on obtient. Puisque la méthode des coefficients indéterminés 

 s'applique aux séries ordonnées suivant les puissances du symbole D ( 2 ), 



(') J'entends par dérivée fonctionnelle de A(s>) l'opération 



A'(«p)=A(a: T )-*A(,p). 



Pour ses propriétés, voir mon Mémoire sur le calcul distributif (Math. Ann., 

 Bd.XLIX). 



(*) Mémoire cité, § 77. 



