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 et que le Tableau des calculs est le même, on aura pour l'opération A le 

 développement 



(4) A(«p) = 2£ B D n <p, 



où les coefficients sont les mêmes que dans la série (3). 



» Or, une série de la forme (4 ) admet toujours un champ fonctionnel de 

 convergence. J'entends parla qu'il existe toujours un ensemble de fonctions 

 qui, substituées à cp(^c) dans cette série, la rendent absolument et unifor- 

 mément convergente dans un domaine du point x = o. Il suffit, en effet, 

 de déterminer une suite de nombres positifs et décroissants m n tels que la 

 série 1 1 k„ [ m n soit convergente ; toute fonction 



<p(ar) = lg„x n , 

 où l'on a 



I r* I ^ m " 

 \g*\<-ïï> 



appartient au champ de convergence de la série (4). Ajoutons que toutes 

 les séries de puissances de D, à coefficients constants, représentent des 

 opérations permutables avec la dérivation. 



» Revenons maintenant à l'équation (2). La série (3), qui y satisfait 

 formellement, peut être toujours divergente. C'est ce qui arrive, par 

 exemple, si l'équation (2) appartient au type cité par M. Picard à la 

 page 279 du tome III de son Traité d'Analyse. Au contraire, comme on l'a 

 vu, la série (4) admet toujours un champ de convergence. On peut donc, 

 sur cette série, exécuter des opérations qui ont un sens et la transformer 

 en d'autres expressions qui représentent la même opération, mais sous une 

 forme dont le champ de validité peut être plus étendu. Par exemple, on 

 peut mettre la série (4) sous forme d'une série de puissances d'une expres- 

 sion différentielle linéaire (') ou sous forme d'intégrale définie. 



» De ce que la série (3) est toujours divergente, on conclut que e zx 

 n'appartient pas au champ de convergence de la série (4); mais cette 

 fonction pourra appartenir au champ de validité d'une des expressions 

 que l'on a déduites de (4). Dans ce cas, A(e zx ) nous donnera une inté- 

 grale de l'équation (2), mais non sous forme de série (3); de même que 



— — — a un sens pour x = 2, mais non pas si l'on prend sous forme 



de série de puissances de x. 



(') Mémoire cité, §§ 63, 109. 



