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» Il y aurait naturellement à insister ici sur plusieurs points; mais ce 

 qu'il importe de noter, c'est que les calculs, qui n'ont pas de sens lorsqu'on 

 les exécute sur une série sans cercle de convergence 2fc n x", se trouvent 

 légitimés dès qu'on les exécute, d'une façon absolument parallèle, sur la 

 série 2& n D'à, pour des fonctions <p appartenant à son champ de convergence 

 lequel, comme on l'a dit, existe toujours. Remarquons encore que si l'on 

 définit une opération par une équation (i), on peut trouver non seulement 

 une branche de cette opération représentée par une série (4) à coefficients 

 constants et, par suite, permutable avec la dérivation, mais on peut aussi 

 intégrer l'équation (i) par une série de la forme Hx tl (x) D", où les coeffi- 

 cients & n {x) sont des fonctions de x qu'on détermine au moyen d'une 

 équation récurrente linéaire, de celles que les anciens analystes appelaient 

 aux différences mêlées. Il est clair que les nouvelles branches de l'opéra- 

 tion A, que l'on obtient ainsi, ne jouissent plus de la propriété d'être per- 

 mutables avec le symbole D, et ne donnent plus, par conséquent, des 

 intégrales de l'équation (i). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales algébriques de l'équation de 

 Riccati. Note de M. Léon Autonxe, présentée par M. Jordan. 



« Prenons une équation de Riccati U 



•^ = A,(*)-f-MA < (*)H-tt t A a (*), 

 et une équation algébrique h n , à discriminant =£ o, 



rz=n 



laquelle a toutes ses racines «„,«,. . . ., u n _, intégrales de U. Cela arrivera 

 notamment lorsque, les A et les a étant rationnels en t, h n devient une 

 équation irréductible H„, dont une racine est intégrale de U. Pour la défi- 

 nition de l'irréductibilité, on envisagera comme rationnelles, outre la 

 variable t, toutes les constantes. Dans une Communication déjà ancienne 

 (7 mai 1 883), j'ai indiqué quelques propriétés des équations H„. 



» Des recherches plus récentes m'ont conduit à la solution du problème 

 plus général relatif aux équations h n , que je nomme aussi équations anluir- 

 moniques, parce que le rapport anharmonique de quatre racines est con- 

 stant. 



